2) Если │а│0, то решение может быть найдено по формуле:

x_j=Д_j (b)/Д

где Д=│А│, Д_j (b)– это определитель матрицы-системы, в кот ее j-ый столбец заменен на столбец правой части b.

БИЛЕТ 28

1. Понятие множества уровня функции, касательной гиперплоскости и вектора нормали к гиперплоскости.

Пусть Rⁿ - некоторое фиксированное число,а f(x)-некоторая функция, где xRⁿ. Множеством уровня β функции f(x) наз-ся множ-во всех таких точек xRⁿ, координаты которых удовлетворяют ур-ию f(x)= β.

В плоском (двумерном) случае, когда n=2, множ-во уровня β функции f(x) является линией. В трехмерном (n>=3)- поверхностью.

Касательной гиперпл-тью к множ-ву уровня β ф-ии f(x) в точке y из этого множества наз-ся множ-во всех точек xRⁿ удовл-х уравнению:

^Tf(y)*(x-y)=0 (1)

В плоском касательная гиперпл-ть наз-ся касательной прямой;

В трехмерном случае – обычной касательной плоскостью.

Вектором нормали (нормалью) n r гиперпл-ти, задаваемой уравнением: c^Tx=_j=1ⁿc_jx_j=β т.е. c^T=(c₁,c₂…c_n),

наз-ся вектор n, компоненты кот-го равны компонентам заданного в уравнении вектора c, т.е. n = c.

Вектор нормали с ортогонален гиперпл-ти . В сл n=2 и n=3 ортогон-ть означает перпендикулярность

Из ур-ия след-ет,что градиент ф-ии f(x) явл-ся вектором нормали к любой касат-й гиперпл-ти к множ-ву уровня этой функции

2. Теорема о представлении оптимального плана прямой ЗЛП. Пусть оптимальный план прямой ЗЛП (14.10)-(14.11) определяется базисными переменными (все свободные равны нулю). Тогда справедливо соотношение

(14.12)

где матрица, составленная из векторов стоящих при базисных переменных в исходной системе ограничений (14.11).

Доказательство. Собирая вместе все слагаемые левой части системы уравнений содержащие базисные переменные, имеем

(14.13)

Выражение в скобках в левой части (14.13) равно нулю, т.к. все слагаемые этого выражения равны нулю как свободные переменные (все свободные переменные в оптимальном плане ЗЛП равны нулю по теореме о вершине). Тогда из (14.13) следует

т.е.,

(14.14)

Умножая обе части (14.14) на слева, получаем что и требовалось доказать.

БИЛЕТ 29

1. Открытая ТЗ на недостаток..

Пусть в ТЗ нарушено условие баланса, т.е.

Σ_i=1^ma_i < Σ_j=1ⁿb_j

т.е. общие запасы < общих потребностей. Также заданы штрафные тарифы r_j, j = 1, n, означающие штрафы за непоставку единицы груза В j-му потребителю. Необходимо так спланировать перевозки, чтобы:

1. Суммарные транспортные и штрафные издержки были бы min.

2. Каждый поставщик реализует свой запас.

3. каждый потребитель получает товар не более, чем ему требуется.

2. Графический метод решения ЗЛП

Применяется для решения задач малой размерности, когда число перем.-арг. Цел. Ф-ии ≤ 3. В основе метода лежит факт, что град. ф-ции ортогонален гиперплоскости во всех точках кот. целев. ф-ция принимает одинаков. значения. Рассмотрим гиперплоскость П_β, представляющую собой мн-во уровня _β целевой ф-ии f(x)=c^tx:

П_β = {xЄRⁿ : c^тx=β}

Пусть Z-направл отрезок, соедин. т. х и у из гипер-ти П_β. Из усл. след., что z=y-x. Рассм. скаляр. произ-ие град f(x) от целевой ф-ии f(x)= c^tx=c1x1+…+cnxn, и вектора z, лежащего в гиперплоскости П_β, имеем <градf(x),z >=град трансf(x)z=(c1,…cn)*(z1,…zn)=c1z1+….+cnzn=c^tz=c^t (y-x)= c^ty- c^tx=0 (c^ty= c^tx= _β, т к x и yЄ П_β). Поскольку скалярной произведение =0, то это означает ортоганальность П_β и град f(x).

БИЛЕТ 30