Приклад двоїстих формул: і .

Теорема 3.5. Якщо формула містить лише операції  ,  , , то ╞ .

Теорема 3.6. Якщо формули і містить лише операції  ,  ,  і , то

.

Лекція 4

Нормальні форми

Елементарною кон’юнкцією пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n називається кон’юнкція цих змінних або їх заперечень.

Приклади елементарних кон’юнкцій:

, , , .

Елементарною диз’юнкцією пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n називається диз’юнкція цих змінних або їх заперечень.

Приклади елементарних диз’юнкцій:

, , .

Елементарна кон’юнкція (диз’юнкція) пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n називається досконалою, якщо від кожної пари до неї входить тільки один представник або.

Наприклад, для n=3 усі досконалі елементарні диз’юнкції

, , , ,

, , , ,

Якщо у цих формулах усі знаки  замінити на знаки , то одержимо усі досконалі елементарні кон’юнкції змінних X₁, X₂, Х₃.

Із n пропозиційних змінних можна утворити різноманітних нееквівалентних між собою досконалих елементарних диз’юнкцій (кон’юнкцій).

Далі будемо вживати наступні скорочення: елементарна диз’юнкція  ЕД, елементарна кон’юнкція  ЕК. досконала елементарна диз’юнкція  ДЕД, досконала елементарна кон’юнкція  ДЕК.

Кожна ДЕД δ тільки для однієї послідовності значень пропозиційних змінних приймає значення, рівне нулю. Послідовність значень пропозиційних змінних, для яких дана ДЕД приймає значення, рівне нулю, називається нулем цієї ДЕД. Так, нулями наведених вище ДЕД відповідно є наступні послідовності:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1),

(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Кожна ДЕК тільки для однієї послідовності значень пропозиційних змінних приймає значення, рівне одиниці. Послідовність значень пропозиційних змінних, для яких дана ДЕК приймає значення, рівне одиниці, називається одиницею цієї ДЕК.

Теорема 4.1. ЕД тоді й тільки тоді є тотожно істинним (ТІ) висловленням, коли разом з деякою пропозиційною змінною Х_і. вона містить її заперечення  Х_і .

Теорема 4.2. ЕК тоді й тільки тоді є тотожно хибним (ТХ) висловленням, коли разом з деякою пропозиційною змінною Х_і. вона містить її заперечення  Х_і .

Доведення цих теорем безпосередньо випливає з означення диз’юнкції й кон’юнкції.

Формула F називається кон’юнктивною нормальною формою (КН-формою) пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , якщо вона є кон’юнкцією елементарних диз’юнкцій цих змінних.

Наприклад, формула

є КН-формою.

КН-форма тоді й тільки тоді є тотожно істинним висловленням, коли кожна ЕД, що входить до неї, разом з деякою пропозиційною змінною Х_і. містить її заперечення  Х_і .

Формула F називається диз’юнктивною нормальною формою (ДН-формою) пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , якщо вона є диз’юнкцією елементарних кон’юнкцій цих змінних.

Із наведених означень випливає, що формула F є ДН-формою пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , якщо двоїста їй формула є КН-формою.

ДН-форма тоді й тільки тоді є тотожно хибним висловленням, коли кожна ЕК, що входить до неї, разом з деякою пропозиційною змінною Х_і. містить її заперечення  Х_і .

Торема 4.3. Для будь-якої формули F існує рівносильна їй КН-форма й ДН-форма.

Теорема доводиться індукцією по рангу формули.

Приклад. Нехай . Побудувати рівносильні F ДН та КН-форми.

Формула є ДН-формою формули F.

Далі маємо:

.

Формула є КН-формою формули F.

Для кожної формули F існує нескінченно багато рівносильних їй КН- та ДН-форм.

Формула F називається досконалою кон’юнктивною нормальною формою (ДКН-формою) пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , якщо вона є кон’юнкцією різних досконалих елементарних диз’юнкцій цих змінних.

Формула F називається досконалою диз’юнктивною нормальною формою (ДДН-формою) пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , якщо вона є диз’юнкцією досконалих елементарних кон’юнкцій цих змінних.

Наведемо приклад ДКН-форми зміних X₁, X₂, X₃ , Х₄:

.

Наступні формули

,

,

.

є ДДН-формами.

Теорема 4.3. 1) Будь-яка елементарна диз’юнкція пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , яка не є ТІ висловленням, рівносильна ДКН-формі цих змінних.

2) Будь-яка елементарна кон’юнкція пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , яка не є ТХ висловленням, рівносильна ДДН-формі цих змінних.

Доведення. Нехай δ елементарна диз’юнкція змінних X₁, X₂, ..., Х_n , яка не є ТІ висловленням. Отже δ не містить X_і й  X_і . Якщо деяке X_і входить в δ більше одного разу то існує δ′  δ , де δ′ містить лише одне входження X_і (або  X_і ). Якщо в δ′ зовсім не входять , і то δ′ G . Але .

Остання формула є ДКН-формою.

Справедливість другої частини теореми випливає із принципу двоїстості.

Наслідок 1. Для будь-якої КН-форми, яка не є ТІ висловленням, і для будь-якої ДН-форми, яка не є ТХ висловленням, котрі утворені з пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , існують відповідно рівносильні їм ДКН-форма й ДДН-форма від указаних пропозиційних змінних.

Наслідок 2. Для будь-якої форули, яка не є ТІ висловленням, і для будь-якої формули, яка не є ТХ висловленням, котрі утворені з пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , існують відповідно рівносильні їм ДКН-форма й ДДН-форма від указаних пропозиційних змінних.

Наслідок 3. Для будь-якої ДКН-форми і для будь-якої ДДН-форми, що утворені з пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n , існують відповідно рівносильні їм ДКН-форма й ДДН-форма від пропозиційних змінних

.

Приклад. Нехай для системи пропозиційних змінних X₁, X₂, X₃, X₄ задана формула . Побудуємо рівносильну їй ДКН-форму.





.

Оскільки від n пропозиційних змінних існує нерівносильних ДЕД (ДЕК), то вибираючи всі можливі комбінації по одній, по дві і т.д., по n диз’юнкцій (кон’юнкцій) із усіх ДЕД (ДЕК), і з’єднуючи іх в кожній комбінації знаком  () одержимо всі ДКН-форми (ДДН-форми) від n пропозиційних змінних. Число всіх таких ДКН-форм (ДДН-форм) рівне .

Для ДКН-форм легко визначаються ті системи значень пропозиційних змінних, для яких вона приймає значення рівне нулю (нулі форми). Ними є нулі ДЕД, що утворюють цю форму. Наприклад, формула

має три нулі (0, 0. 1), (0, 1, 0), (1, 1,1).

Оскільки дві різні ДКН-форми від одних і тих же пропозиційних змінних відрізняються одна від іншої принаймні однією ДЕД, то системи їх нулів не можуть збігатися, отже вони не рівносильні.

Таким чином, стосовно одержаних вище ДКН-форм від n пропозиційних змінних можна стверджувати, що:

1. вони представляють різні класи рівносильних формул від цих пропозиційних змінних;

2. кожен клас представлений тільки однією із названих формул, за виключенням класу формул, які є ТІ висловленнями.

Щоб для формули F одержати рівносильну їй ДКН-форму, потрібно утворити кон’юнкцію ДЕД, відповідних нулям даної формули.

Приклад. Нехай для формули F таблицею істинності є наступна таблиця.

Х1	Х2	Х3	F
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Потрібно побудувати ДКН-форму, рівносильну формулі F.

Утворимо для нулів формули F відповідні їм елементарні диз’юнкції

(0, 1, 0) Х₁ Х₂ Х₃, (0, 1, 1) Х₁ Х₂ Х₃,

(1, 0, 1) Х₁ Х₂ Х₃, (1, 1, 1) Х₁ Х₂ Х₃.

Звідси маємо

(Х₁  Х ₂ Х₃)  (Х₁  Х ₂  Х₃ )  (Х₁ Х₂ Х₃)  (Х₁ Х₂ Х₃).

Одиницями ДДН-форми є одиниці ДЕК, що її утворюють. Для формули

одиницями є (0, 1, 1), (1, 0, 0) (0, 1, 0).

Якщо розглянути всі нерівносильні ДДН-форм від n пропозиційних змінних, можна стверджувати, що:

1) вони представляють різні класи рівносильних формул від цих пропозиційних змінних;

2) кожен клас представлений тільки однією із названих формул, за виключенням класу формул, які є ТІ висловленнями.

Щоб для формули F одержати рівносильну їй ДДН-форму, потрібно утворити доз’юнкцію ДЕК, відповідних одиницям даної формули.

Приклад. Для формули F, заданої таблицею істинності, наведеній в попередньому прикладі, одержуємо

(Х₁  Х₂ Х₃)  (Х₁  Х ₂ Х₃ )  (Х₁ Х₂ Х₃)  (Х₁ Х₂  Х₃).

ДДН-форма, яка містить всі ДЕК від n висловлювальних змінних є тотожно істинним висловленням, а ДКН-форма, яка містить всі ДЕД від n висловлювальних змінних є тотожно хибним висловленням.

Лекція 5

План

1. Логічний наслідок формул.

2. Ознаки логічного наслідку.

3. Деякі властивості логічного наслідку.

4. Логічний наслідок і рівносильність формул.