- •Лекція 1 План
- •2. Висловлення. Логічні операції над висловленнями.
- •Формули алгебри висловлень
- •Лекція 2 План
- •1. Логічні значення складного висловлення.
- •2. Класифікація формул алгебри висловлень
- •3. Тавтології алгебри висловлень
- •4. Основні правила одержання тавтологій
- •Лекція 3 План
- •1.Логічна рівносильність формул
- •Розглянемо ознаку рівносильності формул.
- •2. Рівносильні перетворення формул
- •Приклад двоїстих формул: і .
- •Нормальні форми
- •1. Логічний наслідок формул
- •2. Ознаки логічного наслідку.
- •3. Дві властивості логічного наслідку.
- •4. Логічний наслідок і рівносильність формул.
- •Лекція 6 План
- •Правила логічного висновку
- •2. Знаходження наслідків з даних посилок
- •3. Знаходження посилок для даного наслідку.
- •Лекція 7 План
- •1. Числення висловлень
- •Лекція 8 План
- •1. Властивості числення висловлень
- •2. Проблема повноти
- •2. Несуперечність числення висловлень
- •3. Проблема розв’язності
- •4. Незалежність системи аксіом чв
- •1. Поняття предиката
- •2. Класифікація предикатів.
- •3. Множина істинності предиката
- •4. Рівносильність і наслідок предикатів
- •Приклад. Нехай p (n) “n ділиться на 6”, q (n) “n ділиться на 3”, тоді p q .
- •Логічні операції над предикатами.
- •Кванторні операції над предикатами.
- •Обмежені квантори.
- •1. Логічні операції над предикатами
- •Імплікація й еквівалентність двох предикатів. Імплікація визначається як такий предикат, що для будь-яких предметів , , ..., , , , ..., має місце висловлення
- •Аналогічно визначається еквівалентність двох предикатів.
- •2. Кванторні операції над предикатами
- •3. Обмежені квантори
- •1. Поняття формули логіки предикатів.
- •2. Класифікація формул логіки предикатів.
- •1. Поняття формули логіки предикатів
- •2. Класифікація формул логіки предикатів
- •Лекція 12 План
- •1. Деякі найбільш важливі тавтології логіки предикатів
- •2. Рівносильні перетворення формул
- •3. Логічний наслідок логіки предикатів
- •Лекція 13 План
- •1. Проблеми установлення загальнозначущості й виконуваності формул
- •Нехай маємо
- •2. Вплив потужності множини і структури формули на її виконуваність
- •3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.
- •Лекція 14 План
- •1. Формалізоване числення предикатів
- •2. Вплив потужності множини і структури формули на її виконуваність
- •3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.
- •Лекція 15 План
- •1. Поняття формальної аксіоматичної теорії
- •2. Метамова та метатеореми формальної аксіоматичної теорії
- •3. Інтерпретація й модель формальної аксіоматичної теорії
- •Деякі властивості формалізованого числення висловлень як формальної аксіоматичної теорії
- •Лекція 16 Властивості формалізованого числення предикатів
- •Лекція 17 План
- •1. Повнота і адекватність формалізованого числення предикатів
- •2. Неповнота формалізованого числення предикатів в абсолютному й вузькому розумінні
- •3. Теорема компактності
- •Лекція 18 План
- •1. Формальні теорії першого порядку
- •2. Теорії першого порядку з рівностями
- •3. Формальна арифметика
1. Логічний наслідок формул
Коли говорять, що із одного або декількох висловлень А1, А2, …, Аm випливає твердження В, то мається на увазі наступне: кожного разу, коли виявляться істинними висловлення А1, А2, …, Аm , істинним буде й твердження В.
Означення 5.1. Формула називається логічним наслідком формул , якщо формула перетворюється в істинне висловлення при будь-якій такій підстановці замість пропозиційних змінних конкретних висловлень, при якій в істинне висловлення перетворюються всі формули .
Те, що формула Н є логічним наслідком формул записується так: ╞ Н. Формули називаються посилками для логічного наслідку Н. Таким чином, ╞ Н, якщо для будь-яких висловлень із , …, випливає .
Якщо скласти таблицю істинності для формул , Н й в кожному рядку таблиці, де всі формули приймають значення рівне 1, формула Н також приймає значення рівне 1, то це й означає, що Н є логічним наслідком формул .
Приклад. З’ясувати, використовуючи таблицю істинності, які із формул є наслідками інших:
№ рядка |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
1 1 1 1 1 1 1 0 |
1 1 0 0 1 1 0 0 |
1 1 1 1 0 1 0 1 |
1 1 1 1 1 1 0 0 |
Розглянемо формули . Із таблиці видно, що є тільки один рядок (6-й), в якому перші три формули приймають значення 1. У цьому рядку формула також приймає значення 1. Отже, ╞ .
Тепер розглянемо формули . Із таблиці видно, що є лише п’ять рядків, в яких перші дві формули приймають значення 1, а саме 1-й, 2-й, 3-й, 4-й і 6-й. У цих рядках третя формула також приймає значення 1. Отже,
╞ .
Можна виявити й ще деякі інші логічні наслідки одних формул із інших
2. Ознаки логічного наслідку.
Теорема 5.1. Формула є логічним наслідком F тоді й тільки тоді, коли формула є тавтологією: F ╞ H ╞.
Доведення. Необхідність. Нехай ╞, тобто якщо для набору висловлень має місце = 1, то = 1. Тоді для довільного набору висловлень має місце рівність → = 1. Отже, → = 1 для довільних висловлень . Це означає, що формула → — тавтологія, тобто ╞ F → .
Достатність. Нехай ╞ F → . Тоді
→ = 1
для будь-яких висловлень , звідки маємо
→=1.
Покладемо тепер, що =1. Тоді: 1→= 1, а звідси маємо =1, оскільки в іншому випадку 1→ 0 = 1, що неможливо. Отже, за означенням логічного наслідку F ╞ .
Теорема 5.2. Для будь-яких формул , ( m 2 ) наступні твердження рівносильні
а) ╞;
б) ╞;
в) ╞ ()→.