Деякі властивості формалізованого числення висловлень як формальної аксіоматичної теорії

Формалізоване числення висловлень є прикладом формальної аксіоматичної теорії. Ця теорія повна стосовно алгебри висловлень, несуперечлива й розв’язна. Розглянемо питання внутрішньої повноти числення висловлень, тобто з’ясуємо, чи буде ця теорія абсолютно повною й повною у вузькому розумінні.

Якби формалізоване числення висловлень було абсолютно повним, тобто для довільної формули F цієї теорії сама F або її заперечення  F були теоремами, то для кожної формули F алгебри висловлень або F, або  F були б тавтологією. Але існують приклади формул F, таких, що ні F, ні F не є тавтологіями. Отже формалізоване числення висловлень не є абсолютно повним.

Теорема 15.1. Формалізоване числення висловлень повне у вузькому розумінні.

Доведення. Нехай F  деяка формула формального числення висловлень, котра не є його теоремою. Покажемо, що коли F приєднати до схеми аксіом (А1)  (А3) формалізованого числення висловлень у значенні аксіоми (А4), то одержана на основі аксіом (А1) (А4) формальна аксіоматична теорія буде суперечливою. Дійсно, оскільки F  не теорема, то вона не є тавтологією. Тому в її таблиці істинності знайдеться рядок, у якому стоїть значення 0. Зафіксуємо довільний такий рядок. За схемою F, побудуємо нову формулу наступним чином: усі атомарні формули, що входять в F і приймають у фіксованому рядку значення 1, замінимо формулою Р  Р, а всі атомарні формули, що входять в F і приймають у фіксованому рядку значення 0,  формулою Р  Р, де Р  пропозиційна змінна. У результаті одержимо деяку формулу G(P), яка залежить від однієї пропозиційної змінної Р. Формула одержана на основі схеми аксіом (А4) і тому є аксіомою нової формальної теорії. Але в той же час при будь-яких значеннях Р формула G(P) приймає значення 0, тобто є тотожно хибною. Отже її заперечення G(P)  тотожно істинна формула, а тому є теоремою формалізованого числення висловлень, тобто G(P) вивідна із аксіом (А1)  (А3). Але тоді ця формула є також вивідною із аксіом (А1)  (А4). Таким чином, обидві формули G(P) і G(P) є теоремами нової формальної аксіоматичної теорії, побудованої на основі систем аксіом (А1)  (А4). Отже ця теорія суперечлива.

Лекція 16 Властивості формалізованого числення предикатів

В області предикатів логіка досягає такої виразної сили, що стає логічною основою конкретних математичних теорій. Зокрема надзвичайно глибокий зміст має теорема виправданості. Вона виправдовує наші заняття математикою, переконуючи в тому, що наші логічні міркування виводять нас від змісту і від практики. Сформулюємо спочатку наступну теорему.

Теорема 16.1. Якщо в алгебраїчній системі М виконуються всі формули із множини Ф і із Ф синтаксично вивідна формула F, то F також виконується в М. Тобто, якщо М╞ Ф і Ф├ F, то М╞ F .

Наслідком даної теореми є теорема виправданості.

Теорема 16.2 (терема виправданості). Із синтаксичної вивідності випливає семантична вивідність, тобто, якщо Ф├ F, то Ф╞ F.

Дійсно, нехай Ф├ F і нехай М  довільна алгебраїчна система, у якій виконуються всі формули із Ф, тобто М╞ Ф. Тоді за попередньою теоремою М╞ F . За означенням семантичного наслідку маємо Ф╞ F.

Наслідок. Будь-яка довідна формула є загальнозначущою, тобто, якщо ├ F , то ╞ F .

Доведення одержується із теореми 16.2, якщо в ній покласти Ф = .

Формальна теорія називається семантично несуперечливою, якщо жодна із її теорем не є суперечливою (хибно в будь-якій інтерпретації). Аналогічно, множина Ф формул називається семантично несуперечливою, якщо жодна формула, вивідна із Ф, не є суперечливою.

Формалізоване числення висловлень й формалізоване числення предикатів семантично несуперечливі. Це означає, що вони придатні для опису довільних класів алгебраїчних систем, тобто, що вони увійдуть в теорії цих класів складовими частинами, що цілком відповідає загальнонауковому принципу універсальності законів логіки.

Довільна формальна теорія Т є теорія множини М(Т) всіх своїх моделей, а тому теорія Т семантично несуперечлива тоді й тільки тоді, коли М(Т) ≠ , тобто для теорії Т існує модель. Побудова моделі для теорії на протязі досить довгого часу (до Гільберта) було єдиним загальноприйнятим методом доведення несуперечливості теорії. Математично логіка виробила аналог цього критерію, який не спирається на наявність моделі  зовнішній фактор по відношенню до теорії, а спирається на внутрішні властивості самої теорії,  поняття синтаксичної несуперечливості теорії.

Формальна теорія Т називається синтаксично (дедуктивно, або формально) несуперечливою, якщо не існує такої формули F, що F і F є теоремами теорії Т, тобто в Т невивідними є одночасно формула і її заперечення. Аналогічно, множина Ф формул називається синтаксично несуперечливою, якщо із Ф, невивідна одночасно формула і її заперечення.

Теорема 16.3. Формалізоване числення предикатів синтаксично несуперечливе.

Доведення. Припустимо, що формалізоване числення предикатів суперечливе. Тоді знайдеться така формула F, що F і F будуть теоремами цього числення. Отже формули F і F будуть загальнозначущими, що неможливо за означенням загальнозначущості.

Установимо взаємозв’язки між поняттями семантичної й синтаксичної несуперечливості.

Лема 16.1. Якщо множина формул має модель, то ця множина семантично несуперечлива.

Доведення. Якщо множина Ф формул має модель М, то жодна з формул, яка виводиться із Ф не є суперечливою, тобто хибною в будь-якій інтерпретації, оскільки в іншому випадку вона була б хибною і в М. Це означає, що Ф семантично несуперечлива.

Теорема 16.4. Якщо множина формул семантично несуперечлива, то вона синтаксично несуперечлива.

Доведення. Нехай деяка множина Ф вузького числення предикатів семантично несуперечлива, але суперечлива синтаксично, тобто із неї виводиться деяка формула F і її заперечення F. Але тоді із Ф виводиться і їх кон’юнкція F  F. Але ця формула хибна в будь-якій інтерпретації, а це означає, що множина Ф семантично суперечлива.

Наслідок. Якщо множина формул має модель, то вона синтаксично несуперечлива.

Сформулюємо одну із найважливіших теорем математичної логіки, яку довів Гедель у 1930-у році.

Теорема 16.5. (теорема Геделя про існування моделі). Будь-яка синтаксично несуперечлива множина  замкнутих формул вузького числення предикатів сигнатури  має модель.

Наслідком теореми Геделя є наступна теорема.

Теорема 16.6 (про несуперечливість). Множина формул вузького числення предикатів семантично несуперечлива тоді й тільки тоді, коли вона синтаксично несуперечлива.

Враховуючи попередні теореми, можна сформулювати наступну теорему.

Теорема 16.7. (про несуперечливість). Множина формул вузького числення предикатів синтаксично (дедуктивно) несуперечлива тоді й тільки тоді, коли вона має модель.

Зазначимо, що теорема Геделя все ж не дає надії на одержання доведення несуперечливості теорії, якщо не допускати в теорії, призначеній для такого доведення на метамові, принаймні таких же сильних засобів, як і в предметній теорії, котра досліджується. Впевненість в несуперечливості достатньо складних математичних теорій базується в кінцевому результаті на інтуїції й досвіді.