3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.

Під -формулою розуміють формулу , у якої в пренексній нормальній формі кванторна частина містить лише квантори загальності, а під -формулою розуміють формулу , у якої в пренексній нормальній формі кванторна частина містить лише квантори існування, причому Р_і= Р_і(х₁, х₁, …, х₁ ), і=1, 2, …, k.

Теорема 13.6. -формула загальнозначуща тоді й тільки тоді, коли вона тотожно істина на n-елементній множині.

Доведення. Нехай дана формула тотожно істинна на деякій n-елементній множині. Тоді вона тотожно істинна на довільній n-елементній множині ( тому що ці множини ізоморфні). Тоді на будь-якій n-елементній множині тотожно істинна формула . Розглянемо тепер інтерпретацію на довільній множині: Р₁= А₁, …, Р_k=A_k. Одержимо конкретний предикат , який залежить від n-змінних. Підставляючи замість них конкретні предмети, ми фактично маємо справу з n-елементною множиною, на якій цей предикат тотожно істинний. Отже, він буде тотожно істинним і на всій цій множині. Таким чином формула тотожно істинна на любій множині, а разом з нею тотожно істинна на любій множині, тобто загальнозначуща, й формула .

Теорема 13.7. -формула загальнозначуща тоді й тільки тоді, коли вона тотожно істинна на одноелементній множині.

Доведення даної теореми анологічне доведенню попередньої теореми.

Таким чином, проблема виконуваності й загальнозначущості формул логіки предикатів є достатньо складною й, в загальному, не розв’язаною до кінця проблемою.

Лекція 15 План

1. Поняття формальної аксіоматичної теорії.

2. Метамова та метатеореми формальної аксіоматичної теорії.

3. Інтерпретація й модель формальної аксіоматичної теорії.

1. Поняття формальної аксіоматичної теорії

Формалізація аксіоматичної теорії полягає в тому, що аксіоми розглядаються як послідовності символів деякого алфавіту а методи доведень  як методи одержання одних виразів із інших за допомогою операцій над символами. При цьому не допускається користуватися якими б то не було припущеннями про істини теорії, крім тих, що явно сформульовані в аксіомах. Такий підхід гарантує чіткість вихідних тверджень і однозначність висновків. Проте, аксіоми і правила виведення намагаються вибирати таким чином, щоб побудованій таким чином формальній теорії можна було надати змістовний смисл.

Означення 14.1. Формальна аксіоматична теорія Т вважається визначеною, якщо виконані наступні умови:

1. задано алфавіт теорії Т, який представляє собою деяку зчисленну множину символів. Скінченні послідовності символів алфавіту теорії Т називаються словами або виразами теорії Т;

2. визначена підмножина виразів теорії Т, які називаються формулами теорії Т (зазвичай існує ефективна процедура, яка дозволяє за даним виразом визначити, чи є даний вираз формулою);

3. виділена деяка множина формул, які називаються аксіомами теорії Т;

4. є скінченна множина R₁ , …, R_n відношень між формулами, які називаються правилами виведення. При цьому для кожного R_і (1 і  n) існує ціле додатне j, таке, що для кожної множини, яка складається із j формул, і для кожної формули F ефективно розв’язується питання про те, чи знаходяться дані j формул у відношенні R_і з формулою F, i якщо так, то F називається безпосереднім наслідком даних j формул за правилом R_і.

Означення 14.2. Виведенням (виводом) у формальній аксіоматичній теорії Т називається довільна послідовність В₁ , …, В_n формул цієї теорії, така, що для будь-якого і (1 і  n) формула В_і є або аксіомою теорії Т, або безпосереднім наслідком яких-небудь попередніх формул за одним із правил виведення. Формула F теорії Т називається теоремою цієї теорії, якщо існує вивід в Т, останньою формулою якого є F; такий вивід називається виводом (доведенням) формули F.

Аналогічно відповідному поняттю в формальному численні висловлень (означення 7.1) визначається поняття виводу формули F із множини формул Г в формальній аксіоматичній теорії Т та (див. теорему 7.1) установлюються властивості цього поняття.

Таким чином, формальна аксіоматична теорія має справу з виразами, складеними із символів деякого алфавіту, позбавлених якого б то не було змістовного смислу, а поняття логічного висновку в формальній аксіоматичній теорії формулюється як відношення між виразами із символів. Тобто, розвиток формальної аксіоматичної теорії є процесом оперування із символами на основі чітких формальних правил. Отже такий процес може виконувати ЕОМ.