2. Класифікація формул логіки предикатів
Якщо в формулу логіки предикатів замість кожної предикатної змінної підставити конкретний предикат, визначений на деякій множині М, то формула перетвориться в конкретний предикат, заданий на множині М. При цьому, якщо вихідна формула була замкненою, то одержаний предикат буде нульмісним, тобто буде висловленням. Якщо ж вихідна формула була відкритою, тобто містила вільні входження предметних змінних, то в результаті підстановки одержимо предикат, залежний від деяких предметних змінних. Якщо тепер підставити замість предметних змінних конкретні предмети із множини М, то одержимо конкретне висловлення.
Перетворення формули логіки предикатів у висловлення описаним вище способом називається інтерпретацією цієї формули на множині М.
Приклад.
Дамо інтерпретацію формулі
на множині натуральних чисел. Замість
предикатної змінної Р(х,
у)
підставимо предикат “х
<
у”
. Тоді вихідна формула перетвориться
на істинне висловлення
.
Означення 11.2. Формула логіки предикатів називається виконуваною (спростовною) на множині М, якщо при деякій підстановці замість предикатних змінних конкретних предикатів, визначених на цій множині, вона перетворюється на виконуваний (спростовний) предикат.
Іншими словами, формула виконувана (спростовна) на множині М, якщо існує істинна (хибна) її інтерпретація на множині М.
Означення 11.3. Формула логіки предикатів називається тотожно істинною (тотожно хибною) на множині М, якщо при будь-якій підстановці замість предикатних змінних конкретних предикатів, визначених на цій множині, вона перетворюється на тотожно істинний (тотожно хибний) предикат.
Означення 114. Формула логіки предикатів називається загальнозначущою, або тавтологією (тотожно хибною, або суперечністю), якщо при будь-якій підстановці замість предикатних змінних яких завгодно конкретних предикатів, заданих на будь-яких множинах, вона перетворюється в тотожно істинний (тотожно хибний) предикат.
Той факт, що формула F є тавтологією позначається, як і в алгебрі висловлень, ╞F.
Знаходження тавтологій є однією з важливих задач логіки предикатів. У алгебрі висловлень існує загальний метод визначення, є чи ні дана формула тавтологією. Це метод побудови таблиць істинності. У логіці предикатів такого загального методу не існує. Кожна формула підлягає дослідженню на тотожну істинність індивідуальним методом. Справа в тому, що кожне висловлення має лише одно із двох значень істинності: “істина” або “хиба”, а значення предиката залежить від вибору значень його предметних змінних, який, взагалі кажучи, можна зробити нескінченним числом способів.
Має місце наступна теорема.
Теорема 11.1. Будь-яка формула, що одержується із тавтології алгебри висловлень заміною в ній пропозиційних змінних довільними предикатними змінними, є тавтологією алгебри предикатів.
Доведення.
Нехай F(X1,
Х2,
..., Хп)
тавтологія алгебри висловлень і Р1(х1,
х2,
...,
),
Р2(у1,
у2,
...,
),
...,
Рп(z1,
z2,
...,
)
предикатні змінні. Підставимо їх в дану
формулу замість пропозиційних змінних
Х1,
Х2,
..., Хn.
Одержимо формулу логіки предикатів:
F(Р1(х1,
х2,
...,
),
...,
Рп(z1,
z2,
...,
)).
Якщо
тепер замість предикатних змінних
підставити конкретні предикати A1(х1,
х2,
...,
),
..., Aп(z1,
z2,
...,
),
то
формула перетвориться в конкретний
предикат F(A1(х1,
х2
, ...,
),
...,
Aп(z1,
z2,
...,
)),
який є тотожно істинним, тому що
підстановка замість предметних змінних
х1,
...,
,
..., z1,
...,
довільних
конкретних предметів a1,
...,
,
c1,
...,
із
відповідних множин перетворює даний
предикат у висловлення
F(A1(а1,
а2
...,
),...,
Aп(с1,
с2,...,
)),
яке може бути одержано також в результаті
підстановки у вихідну тавтологію F(X1,
Х2,
...,
Хп)
алгебри
висловлень замість пропозиційних
змінних Х1,
Х2,
..., Хп
конкретних
висловлень A1(a1,
...,
),
...,
Aп(c1,...,
)),
і тому істинно. Отже, формула F(P1,
P2,
..., Рп)
логіки
предикатів є тавтологією.