Лекція 17 План

1. Повнота і адекватність формалізованого числення предикатів.

2. Неповнота формалізованого числення висловлень в абсолютному й вузькому розумінні.

3. Теорема компактності.

1. Повнота і адекватність формалізованого числення предикатів

Спираючись на теорему Геделя про існування моделі, можна довести теорему, обернену до теореми виправданості, тобто твердження про те, що із семантичної вивідності випливає її синтаксична вивідність.

Дійсно, нехай Ф╞ F, Покажемо, що тоді множина формул Ф  {F} суперечлива. Припустимо, що це не так. Тоді ця множина має модель М, тобто на М виконується формула F і всі формули із Ф. Із останнього, виходячи з умови Ф├ F, випливає, що на М виконується й F. Одержано суперечність. Отже, множина Ф  {F} суперечлива, а тому із неї вивідна довільна формула, зокрема Ф  {F} ├ F. Тоді за теоремою дедукції маємо Ф ├ {F}  F. Враховуючи, що, крім того, формула (F  F)  F є теоремою формалізованого числення висловлень, за правилом МР робимо висновок, що Ф ├ F. Тобто, ми показали, що коли Ф╞ F, то Ф ├ F.

Враховуючи дане твердження й попередні результати, можна сформулювати наступну теорему.

Теорема 17.1 (теорема адекватності). Формула F синтаксично вивідна із множини формул Ф тоді й тільки тоді, коли вона семантично вивідна із Ф: Ф├ F  Ф╞ F.

Теорема 17.2 (теорема Геделя про повноту формалізованого числення предикатів). Клас довідних замкнених формул збігається з класом загальнозначущих (тотожно істинних) формул: ├ F  ╞ F.

Ця теорема безпосередньо випливає із попередньої теореми, якщо покласти Ф = ,

Вона справедлива й для відкритих формул. Дійсно, якщо ╞ F(х₁, …, х_n ), де х₁, …, х _n  вільні предметні змінні в формулі F, то за означенням квантора загальності, маємо ╞ х₁ … х _n F(х₁, …, х _n ), а це, в свою чергу, рівносильно ├ х₁ … х_n F(х₁, …, х_n ). За властивостями вивідності останнє рівносильно тому, що ├ F(х₁, …, х _n ).

2. Неповнота формалізованого числення предикатів в абсолютному й вузькому розумінні

Теорему Геделя про повноту формалізованого числення предикатів можна трактувати як деяку зовнішню повноту формалізованого числення предикатів, його повноту стосовно логіки предикатів: у цій теорії можуть бути формально доведені всі загальнозначущі формули логіки предикатів.

Розглянемо тепер питання внутрішньої повноти формалізованого числення предикатів, тобто з’ясуємо чи буде ця теорія абсолютно повною й повною у вузькому розумінні. Оскільки множина теорем формалізованого числення предикатів збігається із множиною тавтологій (загальнозначущих формул) логіки предикатів, а в логіці предикатів існують виконувані, але не загальнозначущі формули, то формалізоване числення предикатів не є абсолютно повною теорією. Що ж стосується повноти формалізованого числення предикатів у вузькому розумінні, то числення предикатів (на відміну від числення висловлень) такої властивість не має. Для доведення наведемо приклад формули, яка не є теоремою формалізованого числення предикатів, додавання якої до аксіом числення предикатів (із збереженням правил виведення) приводить до несуперечливої формалізованої аксіоматичної теорії.

Розглянемо формулу хF(х)хF(х). Ця формула не є загальнозначущою. Тому, за теоремою Геделя про повноту вона не може бути доведена в формалізованому численні предикатів. З іншого боку, додавши до аксіом формалізованого числення предикатів цю формулу, одержимо несуперечливу формалізовану теорію Т. ЇЇ несуперечливість можна довести наступним чином.

Розглянемо модель цієї теорії на одноелементній множині М={а}. Дана формула тотожно істинна на М. Враховуючи, що на М можна визначити для кожного натурального n лише два n-місні предикати і причому і , неважко показати, що всі аксіоми нової теорії Т тотожно істинні на даній моделі й правила виведення від тотожно істинних на М формул приводять до тотожно істинних на М формул. Таким чином, доведено твердження: будь-яка теорія Т тотожно істина на одноелементній множині М. Отже, якби для деякої формули F обидві формули F і F були теоремами теорії Т, то вони були б тотожно істинними на одноелементній множині М, що неможливо. Тому розширена теорія Т несуперечлива, що й доводить неповноту у вузькому розумінні формалізованого числення предикатів.