Лекція 12 План

1. Деякі найбільш важливі тавтології логіки предикатів.

2. Рівносильні перетворення формул.

3. Логічний наслідок формул логіки предикатів.

1. Деякі найбільш важливі тавтології логіки предикатів

Теорема 12.1 (закони де Моргана для кванторів). Наступні формули логіки предикатів є тавтологіями:

а) ;

б) ;.

Доведення. Покажемо тотожну істинність формули а). Дана формула замкнута, тобто не має вільних предметних змінних. Підставивши в цю формулу замість предикатної змінної Р(х) довільний конкретний одномісний предикат А(х), визначений на деякій множині М, одержимо висловлення . Для доведення його істинності потрібно впевнитися, що обидві його частини одночасно істинні або одночасно хибні. Висловлення істинно тоді й тільки тоді, коли висловлення хибне, а це можливо лише за умови, що предикат А(х) спростовний. Спростовність предикату А(х) означає виконуваність його заперечення  ¬А(х) , а це рівносильно істинності висловлення . Отже, висловлення істинно тоді й тільки тоді, коли істинне висловлення . Отже, висловлення істинне. Звідси випливає істинність формули а).

Аналогічно доводиться б).

Із даної теореми і закону подвійного заперечення випливає наступний наслідок.

Наслідок (вираження кванторів одного через інший). Наступні формули логіки предикатів є тавтологіями:

а) ;

б) .

Теорема 12.2 (закони пронесення кванторів через кон’юнкцію і диз’юнкцію) Наступні формули логіки предикатів є тавтологіями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Доведення. а) Підставимо замість предикатних змінних Р(х) і Q(х) конкретні предикати А(х) і В(х), визначені на деякій множині М. Формула перетвориться в висловлення:

(1).

Доведемо його істинність. Висловлення істинне тоді й тільки тоді, коли предикат ) тотожно істинний, що можливо лише в тому випадку, коли предикати А(х) і В(х) тотожно істинні. Тотожна істинність предикатів А(х) і В(х) рівносильна істинності висловлень і , що рівносильно істинності їх кон’юнкції . Отже, ліва й права частина еквівалентності (1) одночасно істинна й одночасно хибна, а це означає істинність висловлення (1). Звідси випливає тотожна істинність формули а).

Подібним чином доводяться формули б), в), г).

Теорема 12.3 (закони перенесення кванторів через імплікацію). Наступні формули є тавтологіями.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

д);

е) .

Тут предикатна змінна Q може бути не лише нульмісною, але й будь-якою n-місною, важливо лише, щоб до неї не входила предметна змінна х.

Наведемо приклади предикатів, які показують незагальнозначущість формул, які є оберненими імплікаціями по відношенню до формул д) і е).

Для д) такими предикатами можуть бути, наприклад, наступні предикати, задані на множині дійсних чисел R: “х<1” и “х>2”. Вони посилку оберненої імплікації перетворюють в істинне висловлення , а висновок  в хибне висловлення . Для формули е) підійдуть предикати, задані над R: “х<0” і “х>0”, які перетворюють посилку оберненої імплікації в істинне висловлення , а висновок  в хибне висловлення .

Мають місце також наступні тавтології:

╞;

╞.

Зазначимо далі, що квантор загальності можна наступними двома способами перенести через імплікацію предикатів, кожний із яких залежить від змінної, що стоїть під знаком квантора:

╞;

╞.

Теорема 12.4 (закони вилучення квантора загальності і введення квантора існування). Наступні формули логіки предикатів є тавтологіями:

а) ;

б) .

Доведення. Покажемо, що формула а) тотожно істинна. Припустимо, що формула а) не тотожно істинна. Це означає, що існує такий предикат А(х), визначений на деякій множині М, що предикат (від у) спростовний, тобто перетворюється в хибне висловлення при підстановці замість у деякого : . Останнє означає, що

; (1)

. (2)

Із співвідношення (1) робимо висновок, що предикат А(х) тотожно істинний. Але це суперечить співвідношенню (2). Отже, зроблене припущення неправильне. Звідси випливає, що дана формула  тавтологія.

Подібним чином доводиться б).

Теорема 12.5 (закони комутативності для кванторів). Наступні формули логіки предикатів є тавтологіями:

а) ;

б) ;

в) .

У всіх розглянутих тавтологіях предикатні змінні нульмісні, одномісні або двохмісні. Виникає питання, чи зберігається тотожна істинність цих формул, якщо вважати, що предикатні змінні в них залежать від довільного числа змінних?

Відповідь на це питання дає наступне твердження:

Якщо в розглянутих тавтологіях вважати, що предикатні змінні залежать від довільного числа предметних змінних, то одержані формули також є тавтологіями логіки предикатів. Більше того, можна вважати, що букви P і Q є довільними формулами логіки предикатів.