- •Лекція 1 План
- •2. Висловлення. Логічні операції над висловленнями.
- •Формули алгебри висловлень
- •Лекція 2 План
- •1. Логічні значення складного висловлення.
- •2. Класифікація формул алгебри висловлень
- •3. Тавтології алгебри висловлень
- •4. Основні правила одержання тавтологій
- •Лекція 3 План
- •1.Логічна рівносильність формул
- •Розглянемо ознаку рівносильності формул.
- •2. Рівносильні перетворення формул
- •Приклад двоїстих формул: і .
- •Нормальні форми
- •1. Логічний наслідок формул
- •2. Ознаки логічного наслідку.
- •3. Дві властивості логічного наслідку.
- •4. Логічний наслідок і рівносильність формул.
- •Лекція 6 План
- •Правила логічного висновку
- •2. Знаходження наслідків з даних посилок
- •3. Знаходження посилок для даного наслідку.
- •Лекція 7 План
- •1. Числення висловлень
- •Лекція 8 План
- •1. Властивості числення висловлень
- •2. Проблема повноти
- •2. Несуперечність числення висловлень
- •3. Проблема розв’язності
- •4. Незалежність системи аксіом чв
- •1. Поняття предиката
- •2. Класифікація предикатів.
- •3. Множина істинності предиката
- •4. Рівносильність і наслідок предикатів
- •Приклад. Нехай p (n) “n ділиться на 6”, q (n) “n ділиться на 3”, тоді p q .
- •Логічні операції над предикатами.
- •Кванторні операції над предикатами.
- •Обмежені квантори.
- •1. Логічні операції над предикатами
- •Імплікація й еквівалентність двох предикатів. Імплікація визначається як такий предикат, що для будь-яких предметів , , ..., , , , ..., має місце висловлення
- •Аналогічно визначається еквівалентність двох предикатів.
- •2. Кванторні операції над предикатами
- •3. Обмежені квантори
- •1. Поняття формули логіки предикатів.
- •2. Класифікація формул логіки предикатів.
- •1. Поняття формули логіки предикатів
- •2. Класифікація формул логіки предикатів
- •Лекція 12 План
- •1. Деякі найбільш важливі тавтології логіки предикатів
- •2. Рівносильні перетворення формул
- •3. Логічний наслідок логіки предикатів
- •Лекція 13 План
- •1. Проблеми установлення загальнозначущості й виконуваності формул
- •Нехай маємо
- •2. Вплив потужності множини і структури формули на її виконуваність
- •3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.
- •Лекція 14 План
- •1. Формалізоване числення предикатів
- •2. Вплив потужності множини і структури формули на її виконуваність
- •3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.
- •Лекція 15 План
- •1. Поняття формальної аксіоматичної теорії
- •2. Метамова та метатеореми формальної аксіоматичної теорії
- •3. Інтерпретація й модель формальної аксіоматичної теорії
- •Деякі властивості формалізованого числення висловлень як формальної аксіоматичної теорії
- •Лекція 16 Властивості формалізованого числення предикатів
- •Лекція 17 План
- •1. Повнота і адекватність формалізованого числення предикатів
- •2. Неповнота формалізованого числення предикатів в абсолютному й вузькому розумінні
- •3. Теорема компактності
- •Лекція 18 План
- •1. Формальні теорії першого порядку
- •2. Теорії першого порядку з рівностями
- •3. Формальна арифметика
4. Основні правила одержання тавтологій
Теорема 2.2 (правило висновку). Якщо формули F і F Н є тавтологіями, то формула Н також є тавтологією. Іншими словами, із ╞ F і ╞ FH випливає ╞ H.
Доведення. Нехай ╞ F (, ...,„) і ╞ F (, ...,„)H (, ...,). Покладемо, що формула H (, ...,) не є тавтологією. Це означає, що існують такі конкретні висловлення , ...,, що . Оскільки F (, ...,) тавтологія, то для , ...,, маємо . Далі маємо:
,
що суперечить тотожній істинності формули F Н. Отже, припущення, що H (, ...,) не є тавтологією неправильне. Звідси одержуємо: ╞ Н, що й потрібно було довести.
Правило висновку називається також правилом “модус поненс”
Друге правило одержання тавтологій має назву правила підстановки. Нехай у формулі F міститься пропозиційна змінна X ,і H довільна формула. Якщо в формулу F замість символу X всюди, де вона входить в F, вставити формулу Н, то одержимо нову формулу. Вона позначається й називається формулою, одержаною з F в результаті підстановки в неї формули Н замість пропозиційної змінної X. Наприклад, якщо в формулу замість змінної Y підставити формулу (), то одержимо .
Теорема 2.3 (правило підстановки). Якщо формула F, що містить пропозиційну змінну X, є тавтологією, то підстановка в формулу F замість змінної X будь-якої формули Н знову приводить до тавтології. Іншими словами, із ╞ F випливає ╞ .
Доведення безпосередньо випливає із означення тавтології. Так як ╞ F(X,Y,...), то формула F(Х, Y,...) перетворюється в істинне висловлення при підстановці замість всіх пропозиційних змінних X, Y, ... довільних конкретних висловлень. Істинність одержуваного висловлення не залежить від структури висловлень, які підставляються заміст змінних X, Y, ... .
Зауваження. Кожна із пропозиційних змінних у даних формулах може розглядатися не як змінна, а як довільна формула алгебри висловлень. Наприклад, тавтологія виду ╞ , де довільні формули алгебри висловлень.
Розглянуті два правила утворення тавтологій будемо називати основними.
Лекція 3 План
-
Логічна рівносильність формул.
-
Рівносильні перетворення формул.
1.Логічна рівносильність формул
Формули F і H алгебри висловлень називаються рівносильними (еквівалентними), якщо при довільних значеннях пропозиційних змінних із яких вони складаються, логічні значення висловлень, які одержуються із F і Н збігаються.
Якщо формули F і Н рівносильні, то пишуть FН. Означення рівносильності формул F і Н можна записати символічно: FH= для будь-яких висловлень А1, А2, ..., Аn.
Означення логічної рівносильності формул не вимагає, щоб у кожну із цих формул обов’язково входили одні й ті ж змінні. Деякі із змінних можуть бути відсутніми в будь-якій із них. Наприклад, формули і рівносильні. Це випливає із наступної таблиці істинності
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Рівносильними є, наприклад, формули .