3. Обмежені квантори

Розглянемо висловлення “Будь-який об’єкт, який має властивість Р має також властивість Q“. На мові логіки предикатів це можна записати так: .

Надання у відповідність двом даним предикатам Р(х) і Q(х) висловлення називається операцією зв’язування обмеженим квантором загальності й позначається так: .

Символ також називається обмеженим квантором загальності.

Наприклад, висловлення “Для будь-якого х>1 справедливо lnx>0” можна записати так .

Висловлення “Існує об’єкт, який має властивість Р і має властивість Q“ на мові логіки предикатів записується так: .

Надання у відповідність двом даним предикатам Р(х) і Q(х) висловлення називається операцією зв’язування обмеженим квантором існування й позначається .

Символ також називається обмеженим квантором існування.

Наприклад, (хибне) висловлення ”Існує дійсне число, квадрат якого рівний –1” можна записати так: .

Лекція 11

План

1. Поняття формули логіки предикатів.

2. Класифікація формул логіки предикатів.

1. Поняття формули логіки предикатів

Алфавіт мови логіки предикатів складається із наступних символів:

предметні змінні: х, у, z, x_i, y_i, z_i (i є N);

нульмісна предикатні змінні: Р, Q, R,P_i, Q_i, R_i (i є N);

n-місні (n 1) предикатні змінні: P(, ..., ), Q( , ..., ), R( , ..., ), P_i{, ..., ), Q_i( , ..., ), R_i( , ..., ) (i є N) з визначенням числа вільних місць у них;

символи логічних операцій: ;

квантори: ;

допоміжні символи: (, )  дужки; ,  кома.

Означення 11.1 (формули логіки предикатів).

1) Кожна нульмісна предикатна змінна є формула;

2) якщо Р( , ..., )  n-місна предикатна змінна, то Р(х_i , ..., х_п) є формула, в якій всі предметні змінні х_i , ..., х_п вільні;

3) якщо F  формула, то ¬F  також формула. Вільні (зв’язані) предметні змінні в формулі ¬F ті й тільки ті, які є вільними (зв’язаними) в F;

4) якщо F₁, F₂  формули і якщо предметні змінні, які одночасно входять в обидві ці формули, вільні в кожній із них, то вирази , , , також є формулами. При цьому предметні змінні, вільні (зв’язані) принаймні в одній із формул F₁, F₂ , називаються вільними (зв’язаними) і в нових формулах;

5) якщо F - формула і х  вільна в ній предметна змінна, то вирази і також є формулами, в яких змінна х зв’язана, а всі інші предметні змінні, що входять в F вільно або зв’язано, залишаються і в нових формулах такими ж;

6) жодних інших формул логіки предикатів, за виключенням перерахованих в пунктах 1-5, немає.

Формули, визначені в п. 1 і п. 2 називаються елементарними або атомарними. Формули, які не є елементарними називаються складеними.

Наприклад, P, Q(x, y, z), R(x₁, x₂)  елементарні формули, а , ,  складені формули. Звернемо увагу на те, що в останній формулі перше входження х зв’язане, а друге  вільне. У таких випадках доцільно заміняти зв’язану змінну якою-небудь буквою, що не входить в дану формулу. Наприклад, цю формулу можна записати так:

Спрощення запису формул, які стосуються запису формул логіки висловлень, за домовленістю, використовуються й для запису формул логіки предикатів.

Формули, у яких немає вільних змінних, називаються замкнутими, а формули, які містять вільні змінні називаються відкритими.

Приклади замкнутих формул: , , . Тут Р  нульміcний предикат (висловлення).