Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Усі лекції_Зібране.doc
Скачиваний:
23
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
2.21 Mб
Скачать

3. Дві властивості логічного наслідку.

Теорема 5.3. Відношення логічного наслідку між формулами алгебри висловлень має наступні властивості:

а) , для i = 1, 2, …, т (рефлексивність відношення логічного наслідку) ;

б) якщо для j = 1, 2, …, р і , то (транзитивність відношення логічного наслідку).

4. Логічний наслідок і рівносильність формул.

Теорема 5.4. Дві формули алгебри висловлень рівносильні тоді й тільки тоді, коли кожна із них є логічним наслідком іншої: FHHF.

Наслідок. Якщо деяка формула є тавтологією, то і будь-який її логічний наслідок також є тавтологією. Символічно це можна записати так: ╞ F, F H  ╞ H.

Доведення. Необхідність. Дано: . За означенням рівносильності обидві формули і для довільних конкретних висловлень перетворюються в висловлення і , які одночасно або істинні або хибні. Отже, кожне із висловлень і істинне для будь-яких висловлень . Це означає, що ╞ і ╞, звідки й випливає і .

Достатність. Дано: і . Тоді ╞ і ╞. Оскільки формули й завжди перетворюються в істинні висловлення, то і їх кон’юнкція () () є формулою, яка завжди перетворюється істинне висловлення, тобто ╞ () (). Але () () . Отже ╞, а значить.

Наслідок. Якщо деяка формула є тавтологією, то і будь-який її логічний наслідок також є тавтологією. Символічно це можна записати так: ╞ F, FH  ╞ H.

Лекція 6 План

  1. Правила логічного висновку.

  2. Знаходження наслідків з даних посилок.

  3. Знаходження посилок для даного наслідку.

  1. Правила логічного висновку

Розглянемо приклади структур правильного мислення, тобто, правила за якими із істинних посилок отримують істинні висновки.

Нехай маємо тавтологію (P (P Q)) Q.

За теоремою 5.2. маємо: F, F G G. Одержану схему, або правило виводу називають правилом modus ponens.

Правило 6.1 {modus ponens): .

Зміст цього правила такий. Якщо формули, що стоять над рискою тавтології, то й формула, що стоїть під рискою також тавтологія.

Використовуючи тавтологію одержуємо наступне правило modus tollens.

Правило 6.2 (modus tollens): .

Розглянуті правила дозволяють в істинній імплікації F G із істинності посилки F робити висновок при істинність висновку G, а із хибності наслідку G  про хибність посилки F.

Наведемо ще деякі правила виведення. Суть їх полягає в тому, що спочатку замінюємо у відповідній тавтології кожну пропозиційну змінну формулою алгебри висловлень в результаті чого одержуємо нову тавтологію (див. теорему 5.2), а потім від неї за теоремою 5.1 переходимо до відповідного правила виведення, котре й записуємо у відповідній формі.

Правило 6.3 (введення кон’юнкції): .

Правило 6.4 (вилучення кон’юнкції): , .

Правило 6.5( введення диз’юнкції): , .

Правило 6.6 (контрапозиція): .

Правило 6.7 (силогізм або ланцюговий висновок): .

Правило 6.8 (перестановка посилок): .

Правило 6.9 (об’єднання й роз’єднання посилок):

, .

Правило 6.10 (розширена контрапозиція): .

Аналогічно формулюються й інші правила

На правила виведення можна дивитися з двох точок зору. По-перше, кожне з них є твердженням наступного типу: Формула, записана під рискою, є логічним наслідком усіх формул, записаних над рискою. По-друге, кожне із цих правил можна розглядати як правило одержання нових тавтологій із тих, що вже маємо.

Розглянемо ще один спосіб перевірки логічного наслідку.

Нехай потрібно з’ясувати, чи є формула логічним наслідком формул . Допустимо, що не є логічним наслідком формул . Отже, існують такі конкретні висловлення , що висловлення хибне тоді коли всі висловлення істинні. Якщо при цьому можна знайти розподіл нулів і одиниць між значеннями змінних , який відповідає даному припущенню, то воно вірне Якщо ж виникає суперечність, то припущення неправильне. Розглянемо це на прикладі.

З’ясуємо, чи виконується логічний наслідок

.

Нехай існують такі конкретні висловлення A, B, C, що = 1, = 1, = 1, але = 0. Тоді з останнього співвідношення маємо = 0, = 0, що не суперечить співвідношенню = 1. Далі, співвідношення = 1 дає = 0 (так як = 0). Нарешті, обчисливши при заданих значеннях А, В і С значення , впевнюємося що воно рівне 1, а це знаходиться в повній відповідності з припущенням. Отже, приходимо до висновку: якщо висловлення А, В, С такі, що = = = 0, то при підстановці X = A, Y = B, Z = C формули-посилки приймуть значення 1, а формула X Z прийме значення 0. Звідси випливає, що формула X Z не вивідна з формул .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.