2. Метамова та метатеореми формальної аксіоматичної теорії

Опис формальних аксіоматичних теорій проводиться деякою загальноприйнятою мовою. Така мова по відношенню до мови формальної теорії називається метамовою. Вона використовується для формулювань тверджень про формальну теорію. Мова ж формальної теорії (символи алфавіту, слова) використовуються для формулювання висловлень самої теорії й називається предметною мовою (або мовою-об’єктом). Використовуючи метамову можна формулювати ті чи інші властивості теорії  властивості її теорем, доведень, її самої. При цьому для доведення цих властивостей використовуються засоби звичайної логіки. В результаті одержується набір теорем про формальну теорію. Такі теореми називаються метатеоремами. Наприклад, теореми про несуперечність, повноту, розв’язність є метатеоремами по відношенню до певної теорії. Зокрема твердження “Теорія груп несуперечлива” є метатеоремою, а твердження ““ є теоремою теорії груп.

3. Інтерпретація й модель формальної аксіоматичної теорії

Одним із перших питань для будь-якої теорії є питання про те, для яких об’єктів застосовна дана теорія. Стосовно формальних аксіоматичних теорій проблема адекватності такої формальної теорії першого порядку сигнатури σ й описуваних нею об’єктів є чисто математичною задачею про відповідність між множиною теорем цієї теорії, побудованої як формальне числення, й змістовно побудованої теорії, яка розглядається як множина об’єктів з операціями й співвідношеннями між ними (тобто як алгебраїчна система), або моделлю формальної аксіоматичної теорії.

Надамо точного математичного змісту поняттям інтерпретації й моделі формальної теорії. Нехай задана сигнатура

,

Лекція 15

(матеріал для самостійного опрацювання)

План

1. Властивості формальних аксіоматичних теорій.

2. Деякі властивості формалізованого числення висловлень як формальної аксіоматичної теорії.

Властивості формальних аксіоматичних теорій

Дослідження формальних теорій загальноприйнятими логічними засобами й методами називається метаматематикою. До кола метаматематичних питань входять питання, пов’язані перш за все з несуперечністю, повнотою, розв’язністю формальних математичних теорій.

Аксіоматична теорія називається несуперечливою, якщо ні для якого твердження А, сформульованого в термінах цієї теорії, само твердження А і його заперечення А не можуть бути одночасно теоремами цієї теорії. Якщо для деякого твердження А теорії обидва твердження А і А є її теоремами, то аксіоматична теорія називається суперечливою.

Якщо аксіоматична теорія суперечлива, а її логічна система аксіом включає в себе числення висловлень з правилом виведення modus ponens, то будь-яке твердження С цієї теорії є теоремою. Дійсно, нехай А і А є теоремами деякої суперечливої теорії й С довільне твердження в термінах цієї теорії. Тоді із А і тавтології А ( А С) за правилом МР одержуємо А С. Далі із А й А С за тим же правилом маємо С.

Має місце й обернене твердження: якщо будь-яке висловлення аксіоматичної теорії є її теоремою, то теорія суперечлива.

Властивість, сформульована в наведеному означенні, ще називають внутрішньою несуперечливістю формальної теорії. Теорія внутрішньо несуперечлива, якщо вона має (несуперечливу) модель. Остання властивість (наявність несуперечливої моделі) називають ще змістовною несуперечливістю теорії. Отже, якщо теорія з змістовно несуперечлива, то вона й внутрішньо несуперечлива. Проте, питання про наявність несуперечливої моделі у внутрішньо несуперечливої теорії є досить складним. До нього ми повернемося дещо пізніше.

Аксіоматична теорія називається категоричною, якщо всі її моделі ізоморфні.

Аксіоматична теорія називається розв’язною, якщо є ефективна процедура (алгоритм), який дозволяє для кожної формалізації цієї теорії визначити, чи існує її вивід, тобто чи є вона теоремою даної теорії, Якщо такого алгоритму не існує, то теорія називається нерозв’язною.

Іншими словами, якщо теорія розв’язна, то це означає, що можна побудувати машину, яка випробовувала б усі формули на властивість бути теоремою цієї теорії. Проте, це не означає, повинен бути алгоритм, який міг би доводити кожну теорему теорії. Нагадаємо, що для формалізованого числення предикатів проблема загальнозначущості довільної формули нерозв’язна.

Аксіоматична теорія називається повною, якщо вона містить достатню для якої-небудь мети кількість теорем. В залежності від цієї мети розрізняють два види повноти.

Аксіоматична теорія називається абсолютно повною, якщо для довільного твердження А, сформульованого в термінах цієї теорії, точно одне із тверджень А або А є її теоремою .

Абсолютна повнота аксіоматичної теорії означає, що її засобів достатньо, щоб довести або спростувати довільне твердження, сформульоване в термінах даної теорії.

Аксіоматична теорія називається повною у вузькому розумінні (або в розумінні Поста), якщо додавання до її аксіом недовідного в ній твердження із збереженням усіх правил виводу приводить до суперечливої теорії.

Будь-яка абсолютно повна теорія є повною теорією у вузькому розумінні.

Дійсно, нехай деяка абсолютно повна теорія не є повною у вузькому розумінні. Отже, існує таке твердження А цієї теорії, недовідне в ній, що нова теорія, побудована на основі тих же аксіом і твердження А в якості нової аксіоми, несуперечлива. Зрозуміло, що А належить новій теорії. Крім того, враховуючи абсолютну повноту вихідної теорії й неможливість доведення в ній твердження А, робимо висновок, що в ній довідним є А. Але всі аксіоми, із яких виведено А увійшли до складу аксіом нової теорії. Отже А належить і новій теорії. Таким чином одержано що нова теорія є несуперечлива й суперечлива одночасно, що неможливо.

Зміст вимоги повноти несуперечливої системи аксіом полягає в тому, щоб вона давала можливість без будь-яких додаткових припущень, без будь-якого звернення до наочних уявлень і досвіду виключно логічним шляхом доводити або спростовувати довільне твердження, сформульоване в термінах даної теорії.

Класичним прикладом неповної системи аксіом є система аксіом і постулатів “Начал” Евкліда.

Якщо несуперечливість гарантує, що із даної системи аксіом не можна вивести два суперечливі твердження А і А, то повнота гарантує можливість доведення одного із них.

Стосовно незалежності системи аксіом сформулюємо два рівносильні означення.

Аксіома А із системи аксіом  називається незалежною від інших аксіом цієї системи, якщо її не можна довести із множини \{A} всіх інших аксіом системи .

Аксіома А із системи аксіом  називається незалежною від інших аксіом цієї системи, якщо її виключення із системи  зменшить запас теорем аксіоматичної теорії.

Можна показати, що твердження А, яке не суперечить системі аксіом , не буде залежати від цієї системи, якщо існують дві такі неізоморфні моделі систем аксіом , в одній із яких А виконується, а в іншій  ні.