2. Формули алгебри висловлень

Будемо позначати Р, Q, R, S, X, Y, Z або такими ж буквами з індексами Р₁, Р₂, ..., Q₁, Q₂, ..., Х₁, Х₂, ..., Y₁, Y₂, змінні, замість яких можна підставляти висловлення. Такі змінні називатимемо пропозиційними змінними.

Дамо означення формули алгебри висловлень.

1. Кожна окремо взята пропозиційна змінна є формулою алгебри висловлень.

2. Якщо F₁ і F₂  формули алгебри висловлень, то вирази , , , , також є формулами алгебри висловлень.

3. Ніяких інших формул алгебри висловлень, окрім тих, що утворюються згідно пунктів 1, 2 не існує.

Наведемо приклади формул. Згідно п. 1 означення формулами є пропозиційні змінні: Р, Q, R, S, X, Y, Z; Р₁, Р₂, ..., Q₁, Q₂, ..., Х₁, Х₂, ..., Y₁, Y₂, ... . Згідно п. 2 із цих формул одержуємо наступні формули: , , , , , , , , , . Із одержаних формул також згідно п. 2 утворимо більш складні формули: , , , , , і т. д.

Наведемо приклади виразів, які не є формулами.

, , , , , , .

Якби у виразі стояли зовнішні дужки, тобто, якби мали , то це була б формула й формулою був би вираз .

Для спрощеного запису формул використовуються наступні домовленості.

1. Зовнішні дужки у формулі опускаються.

2. Логічні операції в записі формули без дужок виконуються в наступному прядку: спочатку виконується операція , операція  виконується перед операцією , і обидві вони виконуються раніше операцій  та .

Наприклад, замість формули будемо писати або , замість будемо писати , або .

Підформулою формули алгебри висловлень називається довільна її частина, яка сама є формулою.

Приклад. Нехай маємо формулу . Підформулами даної формули є: , , , , , .

Рангом r(F) формули F називається число всіх символів логічних операцій, за допомогою яких із системи пропозиційних змінних утворена формула F.

Приклад. F= , r(F) = 6.

Лекція 2 План

1. Логічні значення складного висловлення.

2. Класифікація формул алгебри висловлень.

3. Тавтології алгебри висловлень.

4. Основні правила одержання тавтологій.

1. Логічні значення складного висловлення.

Зазначимо, що у алгебрі висловлень розглядаються лише логічні значення висловлень, а не їх зміст. Якщо у формулу алгебри висловлень F(X₁, X₂, ..., Х_n) замість пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n підставити конкретні висловлення A₁, A₂, ..., A_n то одержимо деяке нове складне висловлення F(A₁, A₂, ..., A_n). Воно називається конкретизацією формули F(X₁, X₂, ..., Х_n). на наборі висловлень A₁, A₂, ..., A_n.

Якщо формула F(X₁, X₂, ..., Х_n) при підстановці замість її пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n висловлень A₁, A₂, ..., A_n з логічними значеннями λ(A₁)=α₁, λ(A₂)=α₂, …, λ(A_n)=α_n перетворюється у висловлення F(A₁, A₂, ..., A_n) з логічним значенням λ(F(A₁, A₂, ..., A_n))=α, то будемо говорити, що формула F(X₁, X₂, ..., Х_n) приймає значення α, якщо її змінні X₁, X₂, ..., Х_n приймають значення α₁, α₂, …, α_n й відповідно писати X₁=α₁, X₂=α₂, …, X_n=α_n і F(α₁, α₂, …, α_n)=α, где α₁, α₂, …, α_n, α {0, 1}. Для знаходження значення F(α₁, α₂, …, α_n) потрібно підставити у формулу F(X₁, X₂, ..., Х_n) замість пропозиційних змінних X₁, X₂, ..., Х_n значення α₁, α₂, …, α_n і в одержаному виразі послідовно виконати всі дії з нулями й одиницями згідно визначенню відповідних операцій. Для визначення логічного значення формул складаються відповідні таблиці істинності.

Розглянемо приклад. Скласти таблицю істинності для формули .

У перших двох стовпцях таблиці випишемо всі можливі пари логічних значень пропозиційних змінних X і Y. У наступних стовпцях виписуємо логічні значення формул , і , які утворюють так звану породжуючу послідовність для даної формули. В результаті одержимо таблицю

0	0	1	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	1

Розглянемо ще один приклад. Таблиця істинності формули

має наступний вигляд

0	0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	0	0	0

Таблицю істинності формули можна скласти у скороченому вигляді.

Складемо, наприклад, таблицю істинності для формули . У першому рядку таблиці запишемо дану формулу. Під змінними Х і Y виписуємо всі можливі набори їх логічних значень. Далі стовпець під першим знаком заповнимо логічними значеннями формули , виходячи з відповідних значень змінної Y, а стовпець під знаком  логічними значеннями формули , виходячи з відповідних логічних значень формул і . Потім заповнюємо стовпець під другим знаком значеннями формули і стовпець під знаком  значеннями формули . Нарешті заповнюємо стовпець під знаком логічними значеннями даної формули. В результаті маємо

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1.