3. Теорема компактності

Теорема адекватності, установлена на основі теореми Геделя про існування моделі, дозволяє одержати аналогічну теоремусемантичного змісту.

Теорема 17.3 (теорема Геделя  Мальцева). Якщо Ф╞ F, то для деякої скінченної підмножини Ф₀  Ф має місце Ф₀ ╞ F.

Наслідок. (локальна теорема Геделя  Мальцева). Множина  замкнених формул вузького числення предикатів сигнатури  має модель тоді й тільки тоді, коли кожна її скінченна підмножина має модель.

На закінчення наведемо ще одну теорему про формули вузького числення предикатів і їх моделях.

Теорема 17.4 (теорема Льовенгейма  Сколема). Нехай   зчисленна сигнатура і   множина замкнених формул вузького числення предикатів сигнатури  . Якщо  має модель, то вона має зчисленну модель.

Наведена теорема має місце і в більш сильному формулюванні.

Теорема 17.5 (теорема Льовенгейма  Сколема). Якщо множина формул  має нескінченну модель, і потужність множини всіх букв, з якої складаються формули із , рівна n, то для довільної нескінченної потужності m  n існує модель множини  потужності m.

Наведемо два наслідки цієї теореми.

1. Якщо   множина формул потужності n, яка має нескінченну модель, то  має нескінченні моделі довільних потужностей, більших від n.

2. Будь-яка скінченна множина або зліченно несуперечлива множина формул або має лише скінченні моделі, або має нескінченні моделі будь-яких потужностей.

Теорема Льовенгейма  Сколема дає ряд наслідків двох типів: одні із них говорять, що деяка теорія має неочікувано широкі моделі, інші  що теорія має неочікувано вузькі моделі.

Лекція 18 План

1. Формальні теорії першого порядку.

2. Теорії першого порядку з рівностями.

3. Формальна арифметика.

1. Формальні теорії першого порядку

У попередніх лекціях розглянуто формалізоване числення предикатів першого порядку, а потім викладено його властивості.

У цьому численні не приймають участь функціональні букви й предметні константи основного алфавіту, хоча мова числення визначена з урахуванням того, що такі символи в ній будуть використовуватися.

Якщо в аксіомах й інших формулах числення предикатів приймають участь функціональні символи й предметні константи, то говорять про прикладне числення предикатів, або при формальну аксіоматичну теорію, або про теорію першого порядку. Термін “теорія першого порядку” означає, що в цій теорії квантори застосовуються лише до предметних змінних і не застосовуються до змінних предикатів. таким чином, кожна з теорій першого порядкує розширеним формалізованого числення предикатів. Система аксіом теорії першого порядку одержується в результаті додавання до аксіом формалізованого числення предикатів, які в цьому випадку називаються логічними аксіомами, власних або нелогічних аксіом теорії. В записі нелогічних аксіом використовуються символи відношень, символи операцій і нелогічних констант, притаманні даній формальній теорії. Іншою важливою властивістю прикладних числень є те, що в схемах аксіом РА1 і РА2 приймають участь уже не предметні змінні, а довільні терми. Тобто, ці схеми аксіом приймають вигляд:

РА1′ : х F(х)  F(t);

РА2′ : F(t) х F(х),

де терм t не містить предметної змінної х, а F(t)  результат підстановки терма t в F(х) замість всіх вільних входжень х, причому всі змінні t повинні бути вільними в F(t).

Формальні теорії виникають як деякі формальні конструкції для відповідних змістовних теорій. Якщо для семантичної теорії удається побудувати несуперечливу й повну формальну теорію, то вихідну змістовну теорію називають аксіоматизованою або формалізованою теорією. Раніше ми установили, що логіка висловлень й логіка предикатів формалізуються за допомогою відповідних числень.