- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Производные высших порядков явно заданной функции
Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию у=f(х). Производная от функции у=f(х) является также функцией от x и называется производной первого порядка. Предположим, что и функция дифференцируема.
Определение 3. Производной второго порядка или второй производной функции у = f(x) называется производная от ее первой производной и обозначается: , , .
Таким образом,
Аналогично производной третьего порядка или третьей производной функции у = f(x) называется производная от ее второй производной и обозначается: , , .
Таким образом,
Производной n-го порядка или n-й производной функции у = f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка:
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.
Вторая производная имеет простой физический смысл. Пусть s=s(t) – закон движения материальной точки, тогда первая производная определяет скорость движения . Вторая производная есть скорость изменения скорости движения, т. е. ускорение .
Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть у=f(х) задана неявно в виде уравнения F(x, y) = 0.
Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение относительно , найдем первую производную. Продифференцировав по x первую производную, найдем вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, у и . Подставляя найденное значение в выражение второй производной, выразим через x и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего и высших порядков.
Производные высших порядков параметрически заданной функции
Пусть функция у=f(x) задана параметрическими уравнениями
Ее первая производная (если она существует) находится по формуле (6):
Поскольку вторая производная от функции y по x есть первая производная от по x, то для нахождения второй производной нужно найти первую производную от следующей параметрически заданной функции:
По формуле (6) имеем:
или
Аналогично находится третья производная от функции заданной параметрически
и т. д.
Дифференциалы высших порядков
Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, тогда ее первый дифференциал есть также функция переменной x; можно найти дифференциал этой функции.
Определение 4. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции y = f(x) называется дифференциал от первого дифференциала функции. Обозначается: или .
Так как не зависит от x, то при дифференцировании считаем постоянным:
Таким образом,
Дифференциалом третьего порядка (третьим дифференциалом) функции y = f(x) называется дифференциал от второго дифференциала функции. Обозначается: или .
Можно показать, что
Аналогично, дифференциалом n-го порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка функции. Обозначается: или .
Из последнего равенства находим, В частности, при n=1, 2, 3 соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Замечание. Отметим, что все приведенные формулы для нахождения дифференциала n –го () порядка функции y = f(x), справедливы только тогда, когда x – независимая переменная. Если мы будем рассматривать функцию y = f(x), где x является функцией от какой-то другой независимой переменной, то ее дифференциалы n –го () порядков будут вычисляться по другим формулам.