Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры.

1. Рассмотрим на плоскости Oxy криволинейную трапецию, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x), снизу отрезком [a, b] и по бокам вертикальными прямыми x=a, x=b.

Величина площади криволинейной трапеции, равна определенному интегралу от функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

(9)

2. Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(x) соответственно, непрерывными на отрезке [a, b], то площадь S, криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(x):

(10)

Объем тела вращения.

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x). Объем этого тела вращения определяется формулой:

(11)

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая x через y как обратную функцию, получаем аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

(12)

Некоторые приложения определенного интеграла в экономике

Рассмотрим экономические задачи, в которых придется воспользоваться умением брать интегралы.

Дневная выработка.

Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t – время в часах, – размерность производительности (объем продукции в час), – размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы: производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t=4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в течение дня непрерывно, т. е. p является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку P можно выразить определенным интегралом:

,

где – множитель, имеющий размерность единицы продукции. Если бы в течении всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью то дневная выработка составила бы или примерно на 21% больше.

Выпуска оборудования при постоянном темпе роста.

Производство оборудования некоторого вида характеризуется тем­пом роста его выпуска, где средний темп роста выпуска оборудова­ния

(13)

причем – прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени , а y – уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найдем общее количество оборудования, произведенного к мо­менту времени t, полагая, что K – известная постоянная величина (единицей времени является год) и в начальный момент времени t=0 уровень ежегодного производства оборудования составлял .

Решение. Будем считать, что y является непрерывной функцией от времени t. Перей­дем к пределу при в равенстве (13):

Интегрируем это равенство в пределах от 0 до t , получаем

откуда

Суммарное количество оборудования, выпущенного за промежуток времени t, находится по формуле

Например, при K=0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

Причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65% .