Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f(x) и записывается: .

Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.

Замечание. Функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.

Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f(x):

1. Из уравнения y = f(x) выражаем ;

2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Понятие сложной функции

Пусть y = f(u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D₁, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:

.

Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:

Применение функций в экономике

В экономике наиболее часто используются следующие функции:

1.Функция полезности – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия;

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов;

3. Функция выпуска – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов;

4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объема продукции;

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления и предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. д.);

и другие.

Числовые последовательности

Определение 11. Числовая последовательность – функция натурального аргумента, т.е. функция вида .

Числовая последовательность обозначается: или , или .

Числа называются членами последовательности, нижний индекс означает номер элемента. Число называется n-м или общим членом последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Так как последовательность является числовой функцией, то к ней применимо большинство понятий, справедливых для числовых функций (ограниченность, монотонность и др.).

Определение 12. Пусть и – две числовые последовательности. Суммой, разностью, произведением и отношением этих последовательностей называются числовые последовательности , члены которых образованы по правилу: .

Предел последовательности

Определение 13. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех n > N члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут:

Таким образом,

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.

Неравенство равносильно неравенству .

Определение 14. Интервал вида , где называется -окрестностью или просто окрестностью точки а числовой оси.

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых n>N, попадут в -окрестность точки.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а содержатся почти все члены этой последовательности, а вне окрестности может оказаться лишь конечное их число.

Теорема 1. Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами:

1. сходящаяся последовательность может иметь только один предел;

2. сходящаяся последовательность ограничена (обратно: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится);

3. если последовательности и сходятся к числам a и b соответственно, т. е. , то

.

Определение 15. Последовательность называется бесконечно большой, если

При этом последовательность называется положительной бесконечно большой, если и отрицательной бесконечной большой, если .

Определение 16. Последовательность называется бесконечно малой, если