Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 12. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(15)

где y – искомая функция, а , и – известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, b).

Если , то уравнение (15) называется линейным однородным уравнением. Если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (15) называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (15) относительно второй производной, то легко видеть, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (11) это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим частный случай уравнения (15), когда функции и – постоянные величины, т. е.

Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

, (16)

где p и q – вещественные числа.

Можно показать, что при определенных условиях функция , где k –некоторое число, является решением уравнения (16). Действительно, подставляя функцию и ее производные в уравнение (16), получим

Сокращая обе части этого равенства на , получаем квадратичное уравнение относительно k

. (17)

Уравнение (17) называется характеристическим уравнением для уравнения (16). Заметим, что если число является корнем уравнения (17), то функция есть решение однородного уравнения (16). Таким образом, в зависимости от корней и характе­ристического уравнения (17) получаем общее решение уравнения (16). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. 1. Если корни характеристического уравнения (17) различные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

2. Если корни уравнения (17) равные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

3. Если корни уравнения (17) комплексные, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициента­ми имеет вид

(18)

Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения (18) состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, общее решение уравнения (18) находится по формуле

, (19)

где – общее решение соответствующего однородного уравнения

,

а – частное решение неоднородного уравнения (18).

Укажем способы нахождения частного решения в случае, когда правая часть уравнения (18) имеет специальный вид.

1. Если

,

где – многочлен степени n, тогда частное решение будем искать в виде

,

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами; r=0, если не является корнем характеристического уравнения; если же является корнем характеристического уравнения, то r равно кратности этого корня.

2. Если

,

где – многочлены степени n и m соответственно, тогда частное решение будем искать в виде

,

где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами; r=0, если не является корнем характеристического уравнения; если же является корнем характеристического уравнения, то r равно кратности этого корня.