Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теоретическая часть матанализ.docx
Скачиваний:
35
Добавлен:
20.12.2018
Размер:
1.76 Mб
Скачать

Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

.

2. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

.

3. Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов интегрирования и от вида подынтегральной функции, он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если переменную x заменить любой другой переменной:

4. Если , то

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

7. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство:

8. Если , то , т. е. неравенство можно интегрировать.

9. Если функция непрерывна и ограничена на отрезке [a, b], т. е. , то

10. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка , что

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c отрезка интегрирования [a, b] и длины ba этого отрезка.

Это значение функции называется средним значением на отрезке [a, b].

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ранее мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний x изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела x.

Найдем производную от Ф(x) по x, т. е. производную определенного интеграла по верхнему пределу.

Теорема 4. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема 5. Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b], а функция F(x) есть одна из первообразных на этом отрезке. Тогда имеет место формула

. (6)

Равенство (6) называется формулой НьютонаЛейбница.

Если ввести обозначение , тогда формула (6) примет вид:

Формула (6) позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм, и дает удобный способ их вычисления. Чтобы вычислить неопределенный интеграл от непрерывной функции на отрезке [a, b], надо найти первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка [a, b].

Основные методы вычисления определенного интеграла

1. Вычисление интегралов с помощью Ньютона – Лейбница.

Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница

Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного.

2. Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.

Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема 6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем и , то справедлива формула

(7)

Формула (7) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Для вычисления определенного интеграла по этой формуле необходимо сделать замену , вычислить , где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция, найти пределы интегрирования по t, решив уравнения .

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 7. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула

(8)

Формула (8) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.