Необходимый признак сходимости
Теорема
1 (необходимый
признак сходимости).
Если
ряд
сходится, то его общий член стремится
к нулю при
,
т. е.
.
(4)
Замечание.
Данная теорема выражает лишь необходимый,
но не достаточный признак сходимости
ряда. Если
,
то ряд
может
быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если же
,
то ряд
расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Теорема
2 (первый
признак сравнения).
Пусть
и
– ряды с положительными членами, причем
для всех номеров n, начиная с некоторого номера n=k. Тогда:
1.
Если ряд
сходится, то сходится и ряд
;
2.
Если ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
1.
Геометрический
ряд
–
сходится при
,
расходится при
;
2.
Гармонический
ряд
–
расходится;
3.
Обобщенный
гармонический ряд
– сходится при
,
расходится при
.
Теорема
3 (предельный
признак сравнения).
Пусть
и
– ряды с положительными членами, причем
существует конечный и отличный от нуля
предел отношения их общих членов
,
то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.
Теорема
4 (признак
Даламбера).
Пусть
–
ряд с положительными членами, и существует
конечный предел отношения (n+1)-го
члена к n-му
члену
.
Тогда, если:
1) q<1, то данный ряд сходится;
2) q>1, то данный ряд расходится;
3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.
Замечание.
Если
,
то ряд расходится.
Теорема
5 (радикальный
признак
Коши).
Пусть
–
ряд с положительными членами, и существует
конечный предел
.
Тогда, если:
1) q<1, то данный ряд сходится;
2) q>1, то данный ряд расходится;
3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.
Замечание.
Если
,
то ряд расходится.
Теорема
6 (интегральный
признак
сходимости).
Пусть
–
ряд с положительными членами, и
.
Тогда, если соответствующая функция
f(x)
– положительная, непрерывная и монотонно
убывающая на промежутке
,
то
ряд
и
несобственный интеграл
сходятся
или расходятся одновременно.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
(5)
где
для
всех
(т.
е. ряд, в котором любые два соседних
члена имеют разные знаки).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются следующие условия:
-
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
;
-
Общий член ряда стремится к нулю:
.
При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам:
.
Замечание. Исследование знакочередующегося ряда вида
сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (5).