Рациональные дроби
Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. всякая дробь вида
Определение
4.
Рациональная дробь называется правильной,
если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. n<m;
в противном случае (если
)
рациональная дробь называется
неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):
где
– многочлен-частное (целая часть) дроби
;
– остаток (многочлен степени n<m).
Так как интегрирование многочлена не представляет затруднений, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.
Определение 5. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
Здесь
A,
a,
p,
q,
M,
N
– действительные числа, а трехчлен
не
имеет действительных корней, т. е.
Теорема
3.
Всякую правильную рациональную дробь
,
где
,
можно единственным образом разложить
на сумму простейших дробей:
(4)
где
–
некоторые действительные числа.
Для нахождения коэффициентов разложения (4), чаще всего применяют методы неопределенных коэффициентов и частных значений.
Метод неопределенных коэффициентов
Суть
метода такова: в правой части равенства
(4) приведем дроби к общему знаменателю
и приравняем многочлен, получившийся
в числителе, многочлену
.
Для
тождественного равенства двух многочленов
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
при одинаковых степенях x
этих многочленов были равны. Учитывая
это приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях x
в
левой и правой частях полученного
тождества. Имеем систему m
линейных уравнений для нахождения m
неизвестных коэффициентов
.
Метод частных значений
При
нахождении неопределенных коэффициентов
вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты
при одинаковых степенях x,
можно придать переменной x
несколько частных значений (по числу
неопределенных коэффициентов) и получить
таким образом систему уравнений
относительно неопределенных коэффициентов.
Особенно выгодно применять этот метод
в случае, когда корни знаменателя
рациональной дроби
просты и действительны. Тогда оказывается
удобным последовательно полагать x
равным каждому из корней знаменателя.
Замечание. Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать x ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях x.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей первых трех типов.
1.
2.
3.
Интегрирование рациональных дробей
Правило интегрирования рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.