Замечательные пределы
1. Первый замечательный предел:
Следствия.
1. Второй замечательный предел:
или
.
Следствия.
В частности, при a=e имеем
В частности, при a=e имеем
Бесконечно малые, бесконечно большие функции
Определение
20.
Функция y=f(x)
называется бесконечно
малой
(бесконечно
большой)
функцией
при
,
если
(
).
Аналогично
определяются бесконечно малые (бесконечно
большие) функции при
.
Если
f(x)
стремится к бесконечности при
и принимает лишь положительные значения,
то пишут
,
если лишь отрицательные значения –
.
Бесконечно
малые функции часто называют бесконечно
малыми
величинами
или бесконечно
малыми;
обозначают буквами греческого алфавита
.
Теорема
4.
Предел функции y=f(x)
существует при
и
равен числу A
тогда и только тогда, когда
,
где
– бесконечно малая при
.
Теорема
5.
Сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при
,
а также произведение бесконечно малой
функции на ограниченную при
есть
величина бесконечно малая.
Теорема
6.
Если функция y=f(x)
при
– бесконечно большая, то функция
при
– бесконечно малая и наоборот.
Классификация бесконечно малых
Определение
21.
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
,
т. е.
,
.
1) Если
,
то функция
называется бесконечно
малой более высокого порядка,
чем
при
.
Записывается
это так:
при
.
2)
Если
то функции
и
называются бесконечно
малыми одного порядка малости при
.
В
частности, если
,
то функции
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми
при
.
Обознается
это так:
~
.
3)
Если
не существует, то
и
называются несравнимыми бесконечно
малыми.
При
следующие функции эквивалентны:
|
|
~
x,
~
x,
~
x,
~ x,
~
,
~
x,
~
,
~
x,
~
.
Теорема
7.
Предел отношения двух бесконечно малых
функций равен пределу отношения
эквивалентных им функций, т.е. если при
~
,
~
,
то
Односторонние пределы функции
Определение
22.
Число
называется
пределом
функции
y=f(x)
слева
в
точке
,
если
для любого сколь угодно малого
положительного числа
можно указать число
такое,
что для всех
,
выполняется неравенство
.
Обозначается:
или
коротко:
.
Таким
образом,
.
Аналогично
определяется предел
функции
y=f(x)
справа
в точке
:
.
Коротко
предел функции справа обозначается:
.
В
случае
вместо
(
)
пишут
(
).
Пределы функции слева и справа называются односторонними в отличие от предела функции, рассматриваемого ранее, он назывался двусторонним.
Связь между односторонними и двусторонним пределами устанавливается следующей теоремой.
Теорема
8.
Функция y=f(x)
имеет предел в точке
тогда
и только тогда, когда в этой точке
существуют пределы как слева, так и
справа и они равны.
В этом случае их общее значение и является
пределом функции
f(x)
в точке
:
Если
же
,
то
не существует.