- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Правила дифференцирования функций
Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые в точке и некоторой ее окрестности функции, а C – постоянная величина, то справедливы следующие основные правила дифференцирования:
Дифференцирование сложной, обратной функций
1. Пусть – сложная функция. Производная сложной функции находится по правилу:
(3)
Данное правило легко распространяется на сложную функцию, зависящую от нескольких аргументов.
2. Пусть у = f(x) и – взаимно обратные дифференцируемые функции и , тогда
(4)
Доказательство.
Таблица производных основных элементарных функций
1 |
|
8 |
|
2 |
|
9 |
|
3 |
|
10 |
|
4 |
11 |
||
5 |
|
12 |
|
6 |
13 |
||
7 |
14 |
Для вычисления производных нужно знать лишь правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Производная неявной и параметрически заданной функций
1. Функция у(х) называется неявной или неявно заданной, если она задана уравнением:
F(x, y) = 0, (5)
не разрешенным относительно у.
Предположим, что функция у дифференцируема.
Для того чтобы найти производную от неявной функции, нужно обе части уравнения (5) продифференцировать по х, рассматривая у как функцию х. Затем полученное уравнение разрешить относительно производной .
Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.
2. Функция у(х) называется параметрически заданной, если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде двух уравнений:
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.
Пусть x(t) и y(t) – дифференцируемые функции для любого значения t и . Производная параметрически заданной функции находится по правилу:
(6)
Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 2. Дифференциалом функции y = f(x) называется произведение производной этой функции на приращение аргумента и обозначается или , т.е.
. (7)
Дифференциал называется еще дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции :
(8)
т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны.
Формулу (7) с учетом (8) можно переписать в виде:
(9)
Другими словами, дифференциал функции y = f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из последнего равенства, имеем: . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .
Геометрический смысл дифференциала функции: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение .
Из определения производной, дифференциала функции y = f(x) и теоремы 4 (о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции) следует
т. е. приращение функции отличается от ее дифференциал на бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с . Следовательно, при малых значениях приращения аргумента приращение функции можно приближенно заменить ее дифференциалом
.
Таким образом, при справедлива приближенная формула
откуда получаем
(10)
Формула (10) используется для вычислений приближенных значений функций.
Правила нахождения дифференциала
Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная величина, тогда