- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Число е, применение в экономике
Определение 17. Числом е (число Эйлера) называется предел , где 2,71828… – иррациональное число.
К использованию числа e приводит анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и так далее. Число e используется так же при решении экономических задач.
Процентом P называется сумма, выплачиваемая за использование предоставленных средств . Тогда величина , выраженная в процентах, называется процентной ставкой. По истечению установленного срока накопленная сумма составит:
где называется удельной процентной ставкой. Если в дальнейшем на накопленную сумму процент не начисляется, то процент называется простым, а накопленная сумма через n лет составит
Процент называется сложным, если на очередной период процент начисляется на всю накопленную сумму . В этом случае, накопленная за Т лет сумма , определяется по формуле
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.
Задача. Пусть вклад денежных единиц положен в банк под p процентов годовых. Найти размер вклада через Т лет при условии, что начисление процентов производится n раз в год.
Решение. В результате одноразового начисления процентов величина вклада станет равной
где – процент начисления за часть года.
За год проценты на вклад будут начислены n раз. Воспользовавшись формулой сложных процентов, получим величину вклада через год:
Через T лет величина вклада окажется равной
Предположив, что , получим величину вклада при непрерывном начислении процентов:
Зависимость величины вклада от времени имеет экспоненциальный характер.
Формула завышает вклад по сравнению с тем, который рассчитан по формуле сложных процентов.
Предел функции
Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки .
Дадим определение конечного предела функции y=f(x) при на языке последовательностей (по Гейне).
Определение 18. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любой последовательности точек (), сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к А.
Обозначается: .
Таким образом,
Геометрический смысл предела функции означает, что для всех x, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Из определения 18 следует, что функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.
Замечание. Определение 18 предела функции y=f(x) для случая, когда аргумент перепишется в виде:
Дадим еще одно определение конечного предела функции при на языке «» (по Коши).
Определение 19. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Таким образом, .
Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.
Геометрический смысл определения конечного предела состоит в следующем: для любой -окрестности точки А найдется -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции y=f(x) попадут в -окрестность точки А, т.е. точки графика функции y=f(x) будут заключены в полосе .
Замечание. Для случая, когда аргумент в определении 19 вместо пишут , т.е.
Если , то пишут , если , то пишут .
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) в точке имеют конечные пределы, т.е. , то
.
Эта теорема верна для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Следствие 1. .
Следствие 2. .
Теорема 3. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки), и для всех х () из этой окрестности выполняется: и , тогда .