Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппроксимации, или приближенного восстановления функции по известным ее значениям в ряде точек. В экономической практике часто требуется представить наблюдаемые (измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При этом предполагается, что вид функциональной зависимости известен и требуется определить только параметры этой зависимости.

Пусть в ходе исследования (например, покупательского спроса) получена следующая таблица, где x – аргумент (цена товара), а y – функция (количество товара):

x				…
y				…

Требуется по этим табличным данным получить функциональную зависимость (кривую спроса). Предположим, что функциональная зависимость линейная: y=ax+b.

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров a, b этих зависимостей из условия минимума суммы квадратов отклонений:

для линейной зависимости

_{Тогда из условий получаются формулы для определения коэффициентов линейной зависимости:}

Основы интегрального исчисления План

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы вычисления определенного интеграла (замена переменной, интегрирование по частям).

Геометрические приложения определенного интеграла. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике.

Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций).

Первообразная функции и неопределенный интеграл

В интегральном исчислении основной задачей является нахождение функции y= f(x) по ее известной производной .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство: или .

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

В дальнейшем будем рассматривать непрерывные на отрезке функции.

Теорема 2. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (a, b), то множество всех первообразных задается формулой F(x)+С, где С – постоянное число.

Доказательство.

Функция F(x)+С является первообразной функции f(x), так как .

Пусть Ф(x) – другая, отличная от F(x) первообразной функции f(x), т. е. . Тогда имеем

а это означает, что

,

где С – постоянное число. Следовательно,

Определение 2. Множество всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(1)

В формуле (1) f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оy.