Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции

Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел ().

Определение 5. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение y = f(x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f.

_{В определении речь идет об} однозначной функции. Если допускать, что каждому _{отвечает не одно, а несколько (или даже бесконечное множество) значений y, то функцию называют многозначной. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции.}

Множество D называется областью определения функции f и обозначается D(f), а множество – множеством значений функции и обозначается Е(f).

Для записи функции применяются следующие обозначения: y = f(x), , .

Величина х называется независимой переменной или аргументом функции, а величина у – зависимой переменной или функцией.

Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы, или нескольких формул, или уравнений устанавливается алгоритм вычисления значений функции f(x) для каждого из значений .

Под областью определения понимают множество x, при которых данная формула имеет смысл.

Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента и соответствующих им значений функции .

Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f(x) графиком в некоторой системе координат.

Определение 6. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)), где х  D(f).

Основные свойства функции

Средствами элементарной математики для функции y = f(x) с областью определения D(f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1. Нули и знак функции.

Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции, т.е. нули функции являются корнями уравнения f(x)=0.

Если f(x)>0 на некотором интервале, то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.

Если f(x)<0 на некотором интервале, то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.

В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.

2. Четность или нечетность функции.

Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодичность функции.

Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т  0, что для выполня­ются условия:

1) ;

2) f(x – Т) = f(x + Т) = f(x).

Число Т называется периодом функции.

Заметим, что если Т является периодом функции f(x), то число nT , где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом.

4. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве ХD(f), если для любых значений таких, что  < , справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.

5. Ограниченность функции.

Определение 10. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х  D(f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)|  M.

Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми y=M и y= –M.