Определение производной

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное, и также принадлежит окрестности точки ), то приращение функции определяется выражением

Определение 1. Производной функции у = f(x) в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции у = f(x) в точке обозначается:

Таким образом,

(1)

Производная функции у = f(x) в произвольной точке x обозначается:

При каждом конкретном числовом значении x производная функции у = f(x) (если она существует при данном x) есть некоторое число. Значениям переменной x ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная данной функции есть некоторая функция аргумента x.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная от фун­кции у = f(x) при равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , т. е.

(2)

где угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке и положительным направлением оси Ох.

Физический смысл производной. Для функции у = f(x), определенной и непрерывной в точке , отношение есть средняя скорость изменения функции за промежуток , а есть мгновенная скорость ее изменения в точке .

Таким образом, производная от фун­кции у = f(x) – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого данной функцией. В зависимости от содержания можно получить различные математические модели скорости протекания физических, химических и других процессов.

Например, пусть материальная точка М движется неравномерно и у = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость v движения в момент времени есть производная от пути s по времени t:

_{Рассмотрим еще один пример. Пусть u=u(t) функция, которая выражает количество} произведенной продукции u за время t. Отношение есть средняя производительность труда за период времени . Тогда производительность труда z в момент времени есть производная объема произведенной продукции u по времени t:

Последний пример иллюстрирует экономический смысл производной.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 1 (о непрерывности функции в точке). Если функция у = f(x) имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не всегда верно: если функция у = f(x) непрерывна в некоторой точке , она может и не иметь производной в этой точке.

Например, функция определена и непрерывна во всех точках x числовой оси R, однако в точке не имеет производной.

Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна.