Экстремум функции нескольких переменных

Определение 14. Точка называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки , такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности, выполняется неравенство

В определении речь идет о локальном экстремуме (максимуме и минимуме) функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки .

Теорема 4 (необходимое условие экстремума). Пусть точка – точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x; y). Тогда частные производные функции в этой точке равны нулю, т. е.

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Определение 15. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x; y) равны нулю, т. е. называется стационарной точкой функции.

Определение 16. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Теорема 5 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим:

Тогда:

1) если , то функция z = f(x; y) имеет в точке экстремум: максимум, если A<0 и минимум, если A>0.

2) если , то функция z = f(x; y) в точке экстремума не имеет;

3) если , экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области

Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в точке границы области. Таким образом, для нахождения экстремума функции в замкнутой области сначала находят все стационарные точки функции внутри области D, а затем наибольшее и наименьшее значения на ее границе. Сравнивая полученные величины, находим наименьшее и наибольшее значения функции в области D.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Если ищется экстремум функции z = f(x; y), при условии, что ее аргументы связаны между собой уравнением (уравнением связи), то говорят об условном экстремуме. Для отыскания условного экстремума воспользуемся мето­дом неопределенных множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции z = f(x; y) при наличии уравнения связи , составим функцию Лагранжа

где – неопределенный постоянный множитель, и найдем обычный экстремум этой вспомогательной функции.

Необходимые условия экстремума функции сводятся к системе трех уравнений

с тремя неизвестными , из которой можно найти эти неизвестные. Таким образом, решения системы есть стационарные точки функции Лагранжа.

Затем вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала

в стационарной точке функции Лагранжа, при ус­ловии, что и связаны соотношением

Функция z = f(x; y) имеет условный максимум, если и услов­ной минимум, если . В частности, если дискриминант для функции в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(x; y), если А<0, и условный минимум, если А>0.

Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.