Непрерывность функции нескольких переменных
Определение
6.
Функция f(x;
y)
называется непрерывной
в точке
,
если она:
1)
определена в точке
и
ее окрестности;
2)
имеет конечный предел при
;
3)
Дадим
еще одно определение непрерывности
функции на языке «
».
Определение
7.
Функция
f(x;
y)
называется непрерывной
в точке
,
если для любого числа
найдется число
,
такое, что для всех точек
отстоящих от точки
на расстояние
,
выполняется неравенство
.
Функция называется непрерывной в области определения, если она непрерывна в каждой точке области. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Эти точки могут быть как изолированными, так и составлять целые линии (линии разрыва) или поверхности (поверхности разрыва).
Пусть
функции
и
непрерывны в точке
.
Тогда в этой точке непрерывны также
функции
,
,
Частные производные первого и высших порядков
Рассмотрим
функцию z = f(x;
y),
определенную на некотором множестве
D,
и возьмем точку
.
Придадим
аргументам функции z = f(x;
y)
приращения
оставаясь при этом в области определения.
Значение функции в точке
будет равно
.
Разность между значениями функции в
точках
и
называется полным
приращением функции и
обозначается
,
т.е.
(1)
Частным приращением функции по аргументу x называется величина
Частным приращением функции по аргументу y называется величина
Определение
8.
Частной
производной
функции z = f(x;
y)
по
переменной
x
(переменной
y)
в точке
называется
предел (если он существует и конечен)
отношения частного приращения функции
по x
(по
y)
к приращению соответствующего аргумента
при стремлении последнего к нулю.
Обозначается
символами
,
или
,
или
(
,
или
,
или
).
Таким образом,
.
(2)
Замечание. Частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии, что другая переменная остается постоянной. Поэтому для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Геометрический
смысл частной производной
функции z = f(x;
y)
в точке
.
Пусть график функции z = f(x;
y)
представляет собой некоторую поверхность.
Тогда при
получаем кривую
– сечение этой поверхности соответствующей
плоскостью. В этом случае
выражает угловой коэффициент касательной
к кривой
,
в заданной точке
,
т. е.
,
где
– угол наклона касательной к оси Ox.
Аналогично
,
где
–
угол наклона касательной к оси Oy.
Частные
производные
и
функции z = f(x;
y)
называются частными
производными первого порядка.
В свою очередь их можно рассматривать
как функции от двух переменных x
и y.
Эти функции могут иметь также частные
производные, которые будем называть
частными производными второго порядка.
Они определяются и обозначаются следующим
образом:
Аналогично определяются производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.
Определение 9. Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Например,
– смешанные частные производные второго
порядка.
Теорема 1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В
частности, для z = f(x;
y)
имеем:
