Определение функции нескольких переменных. Область определения

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x, y).

Определение 1. Соответствие f, которое каждой паре чисел (x, y)D сопоставляет одно и только одно число zR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z=f(x, y) или .

Величины x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией). Множество D=D (f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z, называется областью изменения функции и обозначается E(f) или Е.

Функцию z=f(x, y), где (x, y)D можно рассматривать как функцию точки М(x, y) координатной плоскости Oxy. Тогда под областью определения функции z понимается совокупность точек плоскости Oxy, в которых данная функция z существует, т.е. принимает определенные действительные значения. Для характеристики области D проще всего указать, какая фигура на плоскости Oxy заполняется соответствующими точками.

Функция z=f(x, y) двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование: каждой точке области D в системе координат Oxyz соответствует точка , где – аппликата точки . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=f(x, y).

Обобщая функцию двух переменных перейдем к понятию функции от n переменных.

Рассмотрим точку n-мерного евклидова пространства .

Определение 2. Соответствие f, которое каждой точке евклидова пространства сопоставляет некоторое число , называется функцией точки и обозначается u = f(M).

Замечание. Всякая функция нескольких переменных становится функ­цией меньшего числа переменных, если часть переменных за­фиксировать.

В качестве примера функций нескольких переменных рассмотрим следующие функции:

1. Функция Кобба–Дугласа

Для двух переменных она имеет вид: .

С помощью функций Кобба–Дугласа строят производственные функции, выражающие результат производственной деятельности в зависимости от различных факторов .

2. Функция полезности для многомерного случая – это функция , выражающая полезность от n приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие ее виды:

a) где – логарифмическая функция;

б) где . Такая функция называется функцией постоянной эластичности.

Линии уровня

Определение 3. Линией уровня функции z = f(x; y) называ­ется множество всех точек плоскости Oxy, в которых функция z принимает постоянное значение, то есть f(x; y) = С, где С – постоянная.

Число С в этом случае называется уровнем.

Линия уровня может быть получена при пересечении графика функции z=f(x, y) с плоскостью z=С, параллельной плоскости Oxy. Затем эту линию следует спроектировать на плоскость Oxy.

Предел функции нескольких переменных

Определение 4. окрестностью точки называется круг радиуса , содержащим точку внутри себя.

На плоскости Oxy введем расстояние между точками и :

Тогда условие нахождения точки M внутри круга радиуса является выполнение неравенства .

Определение 5. Число а называется пределом функции z = f(x; y) при (или в точке ), если любого для числа найдется число , такое, что для всех точек отличных от точки и отстоящих от этой точки на расстояние , выполняется неравенство .

Обозначается: