17. Напруження і деформації в наслідок повзучості

17.1. Підбір поперечного перерізу балки при повзучості

Задана балка (рис. 17.1) прямокутного поперечного перерізу(рис. 17. 2), працює під дією заданого навантаження при температурі

Рис. 17.1

Тривалість навантаження дорівнює t год.

Рис. 17.2

Потрібно:

1. Побудувати епюру згинальних моментів та знайти .

2. Підібрати розміри поперечного перерізу балки за умовою:

3. Визначити коефіцієнт запасу за напруженням:

4. Розрахувати:

; ; ;

Дані для розрахунку:

q = 80 кН/м; a = 0,5 м; ; B = 10^-18 МПа^-6 год^-1.

Матеріал: ВЖ 36-Л2; t = 10000 год ;; n = 6.

Схему задачі показано на рис. 17.1

Розв’язання:

1. Будуємо епюри згинальних моментів.

Визначаємо опорні реакції:

Крізь симетрію відносно точки С:

Перевірка:

Розбиваємо балку на ділянки. Складаємо рівняння згинальних моментів.

I ділянка:

при x = 0 M = 0, при x = a M = 10 кНм.

II ділянка:

, при x = a M = 20 кНм, при x = 2a .

Епюри згинальних моментів на III і IV ділянках будуть симетричні відповідним епюрам на I і II ділянках. Максимальне значення згинального моменту

2. Підбираємо поперечний переріз балки за умовою:

Швидкість деформації при повзучості, яка встановилася, визначається зі співвідношення:

(17.1)

де  момент інерції поперечного перерізу відносно осі у стосовно деформації повзучості. У загальному випадку величина визначається за формулою:

Для прямокутного поперечного перерізу

Для заданого поперечного перерізу (рис. 17.2) при h=2b:

(17.2)

З рівняння (17.1) випливає, що:

Оскільки , то отримуємо:

Звідси

або

Враховуючи співвідношення (17.2), дістаємо:

Отже,

оскільки

3. Коефіцієнт запасу за напруженнями визначаємо за формулою:

де  границя тривалої міцності матеріалу при повзучості.

Для сплаву ВЖ36-Л2 при t = 10000 год і

(17.3)

Нормальні напруження під час повзучості, яка встановилася, для заданої форми поперечного перерізу дорівнюють (див. формулу (17.2) і (17.3))

Отже,

.

Коефіцієнт запасу за напруженнями менше допустимого, отже необхідно збільшити розміри поперечного перерізу. Визначаємо значення нормального напруження при k = 1,5:

Знаходимо нові розміри поперечного перерізу балки:

Остаточно беремо b = 45 мм.

18. Механіка руйнування

18.1. Розрахунок залишкової міцності елемента конструкції за наявності концентратора напружень і тріщини

Для зображеного на рис. 18.1 конструктивного елемента розрахувати залишкову міцність за наявності в ньому концентратора напружень і тріщини, зробити висновок про міцність конструктивного елемента, виконаного з матеріалу Д16.

Рис. 18.1

Дані для розрахунку:

характеристики матеріалу Д16: критичний коефіцієнт інтенсивності напружень К_С = 84,4 МПа·м^1/2 умовна границя текучості МПа; інтенсивність навантаження МПа, ширина елемента 2W = 20 см; висота елемента 2h = 40 см, товщина елемента t = 2 мм; радіус отвору R = 1 см.

Для пластини з центральним круговим отвором залежність коефіцієнта інтенсивності напружень нормального відриву від довільної інтенсивності навантаження , прикладеного до елемента, записується у вигляді

К₁ = F₁()  = , (18.1)

де - поправкова функція, що залежить від геометрії елемента і тріщини.

Для обчислення функції користуються графіком (рис. 18.2) і табл. 18.1 [13].

Рис. 18.2.

Таблиця 18.1.

а/W	с/R	F1()		а/W	с/R	F1()
0,12	0,2	0,994		0,24	1,4	1,072
0,13	0,3	1,091		0,26	1,6	1,074
0,14	0,4	1,072		0,30	2,0	1,083
0,15	0,5	1,078		0,40	3,0	1,128
0,16	0,6	1,079		0,50	4,0	1,203
0,18	0,8	1,077		0,60	5,0	1,319
0,20	1,0	1,073		0,70	6,0	1,502
0,22	1,2	1,072		0,80	7,0	1,82

Обчислення коефіцієнта інтенсивності напружень нормального відриву роблять у вигляді таблиці 18.2.

Таблиця 18.2

	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
F1()	1,073	1,083	1,128	1,203	1,319	1,502	1,820
а, 10-2 м	2	3	4	5	6	7	8
, м1/2	0,251	0,307	0,354	0,396	0,434	0,469	0,501
К1, МПа.м1/2	37,70	46,54	55,90	66,69	80,14	98,62	127,6
ry,10-2 м	0,141	0,216	0,311	0,442	0,639	0,967	1,621
 + ry,10-2 м	2,141	3,216	4,311	5,442	6,639	7,967	9,621
к , МПа	313,7	254,2	211,5	177,3	147,5	119,8	92,5
 + ry*,10-2 м	2,709	3,709	4,709	5,709	6,709	7,709	8,709
*	0,271	0,371	0,471	0,571	0,671	0,771	0,871
F1(*)	1,090	1,103	1,181	1,285	1,449	1,727	-
, м1/2	0,292	0,341	0,385	0,424	0,459	0,492	-
к*, МПа	267,6	224,3	185,6	154,9	126,8	99,3	-

За отриманими даними будуємо графік залежності К від довжини тріщини а (рис. 18.3).

Рис. 18.3

Для аналізу напруженого стану біля вершини тріщини, де концентрація напружень зумовлена малим радіусом заокруглення вершини тріщини, використовують формули для визначення напружень У випадку нормального відриву при плоскому напруженому стані ці формули мають вигляд:

;

;

.

Використовуючи ці формули й умову пластичності Мізеса, визначаємо розмір пластичної зони біля вершини тріщини

,

де  умовна границя текучості матеріалу.

У момент руйнування К₁ = К_С. Тоді граничний розмір пластичної зони при = 0 можна визначити за формулою:

. (18.2)

У цьому випадку при К_С = 84,4 МПа·м

м = 0,709 см.

Умові плоского напруженого стану відповідає умова

Для заданого елемента  умова виконується.

Отже, у цьому випадку маємо злам у вигляді зрізу. Таким чином, пластична зона поширюється на всю товщину зразка, а елементи крихкого зламу відсутні. При цьому досягається невелика міцність матеріалу. Критичне напруження визначаємо з урахуванням і без урахування пластичної зони.

З умови Ірвіна критерій розвитку тріщини нормального відриву має вигляд К= К_С. Отже, у момент початку нестійкого поширення тріщини з урахуванням формули (18.1)

.

Тоді критичне напруження без урахування пластичної зони можна визначити за формулою:

. (18.3)

Результати обчислення за формулою (18.3) подано в табл. 18.2 і на рис. 18.4.

Критичне напруження з урахуванням пластичної зони розраховуємо за формулою

(18.4)

де визначається за формулою (18.2).

У табл. 18.2 і на рис. 18.4 подано значення величини , обчислені за формулою (18.4). Поправкову функцію знаходимо за графіком (рис. 18.2) чи за табл. 18.1.

За результатами розрахунків можна зробити висновок про міцність цього конструктивного елемента. Тріщина в елементі поширюватися не буде, якщо виконується умова Ірвіна:

У цьому випадку критерій Ірвіна виконується за умови, що довжина тріщини в елементі буде не більше критичної довжини см.

Рис. 18.4.

На рис. 18.4: 1  без урахування пластичної зони поблизу вершини; 2  з її урахуванням.