Порядок розв’язання задачі

1. Накреслити колону та показати сили F₁ і F₂. Зобразити перерізи 1-1 і 2-2.

2. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу та головні центральні радіуси інерції (для перерізів 1-1 і 2-2).

3. Визначити нормальні напруження у чотирьох кутових точках перерзу 1-1.

4. Побудувати епюру нормальних напружень у перерізі 1-1 в аксонометрії. На цьому ж рисунку показати ядро перерізу та положення нейтральної осі, розтягнуту частину перерізу заштрихувати.

5. Провести перевірку міцності матеріалу у перерізі 1-1 за найбільшими розтягуючими та найбільшими стискаючими напруженнями. Зробити висновок про міцність матеріалу колони.

6. Визначити нормальні напруження у чотирьох кутових точках перерізу 2-2 від сил F₁, та F₂ і знайти нормальні напруження в указаних точках перерізу 2-2 від сумісної дії сил F₁ і F₂.

7. Побудувати епюру нормальних напружень у перерізі 2-2 в аксонометрії від сумісної дії сил F₁ і F₂. На цьому ж рисунку показати ядро перерізу та положення нейтральної осі, розтягнуту частину перерізу заштрихувати.

8. Провести перевірку міцності матеріалу у перерізі 2-2 за найбільшими розтягуючими та найбільшими стискаючими напруженнями. Зробити висновок про міцність матеріалу колони.

Розрахунок ступінчастої колони на позацентрове стискання

Бетонна колона піддається дії сил Р₁ і Р₂ (рис.12.1, а). На (рис.12.1, б) показані точки перетину К₁ і К₂ ліній дії сил Р₁ і Р₂ з площиною перерізів 1–1 і 2–2.

Припускається, що висота колони (Н₁+Н₂) така, що гнучкість λ не перевищує 40, тобто λ≤40.

Потрібно:

1). визначити нормальні напруження в перерізах 1–1 і 2–2 колони;

2). показати ядро перерізу, побудувати епюри нормальних напружень σ для перерізів 1–1 і 2–2;

3). перевірити виконання умови міцності за найбільшими стискаючими та розтягуючими напруженнями.

Рис.12.1

Дані для розрахунку:

P₁ = 225,0 кН; P₂ = 450,0 кН; К₁(8; –7); К₂(14; 8); h₁ = 30 см; b₁ = 30 см; h₂ = 30 см; b₂ = 60 см; [σ_P] = 5 МПа; [σ_с] = 20 МПа. (Координати точок наведені в сантиметрах).

Розв’язання.

Бетона колона працює на позацентрове стискання.

Напруження σ в даному випадку визначаються за формулою:

, (6.3)

де Р - сила, з якою стискається колона; F - площа поперечного перерізу; , - координати точки перетину лінії дії сили Р з площиною поперечного перерізу F бруса; , - координати точок перерізу, в яких визначаються напруження σ; , - квадрати радіусів інерції.

1. Визначаємо необхідні геометричні характеристики поперечного перерізу 1–1 бруса.

Площа перерізу: F₁ = b₁h₁ = 30 ∙ 30 = 900 см².

Квадрати радіусів інерції перерізу:

см²;

см².

2. Знаходимо відрізки, які відсікає нейтральна вісь на осях координат. За формулами:

; , (6.4)

де y_p, z_p – координати точки перетину лінії дії сили Р₁ з площиною поперечного перерізу 1–1 брусу.

Маємо: y_p = 8 см; z_p = –7 см.

Отже, за формулами (6.4) знаходимо:

см; см.

За цими даними проводимо нейтральну вісь (рис. 12.2).

Рис. 12.2

3. Обчислюємо нормальні напруження в точках А₁, В₁, С₁, D₁.

Нормальне напруження в будь-якій точці поперечного перерізу бруса при позацентровому стисканні можна визначити за формулою (6.3):

Координати точок А₁, В₁, С₁ і D₁ в яких визначаються напруження σ такі: А₁(15; –15); В₁(15; 15); С₁(–15; 15); D₁(–15; –15). Координати точок вказані в сантиметрах.

Отже, використовуючи формулу (6.3), маємо:

В цій формулі координати у, z потрібно підставляти в метрах.

Таким чином:

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

За цими даними будуємо епюри σ вздовж сторін поперечного перерізу бруса (рис. 12.2).

Найбільше стискаюче напруження має місце в точці А₁, а найбільше розтягуючи напруження в точці С₁.

При визначенні напружень отримуємо:

МПа < [σ_р] = 5 МПа;

МПа < [σ_с] = 25 МПа.

4. Побудова ядра перерізу.

Для побудови ядра перерізу (рис. 12.3) будемо задаватися різними положеннями нейтральної вісі, дотичними до контуру перерізу, й обчислювати координати відповідних точок прикладання сили Р₁ за такими формулами:

; . (6.5)

Рис. 12.3

Обчислені координати визначають точки, що лежать на межі ядра перерізу.

Сумістимо спочатку нейтральну вісь зі стороною А₁В₁ (положення 1₁-1₁). В цьому разі:

см;

Тоді з формул (6.5) маємо:

см; .

Отже, координати точки 1 ядра перерізу 1–1 визначені.

Сумістимо тепер нейтральну вісь із стороною А₁D₁ (положення 2₁–2₁). Маємо:

; см.

Тоді координати точки 2 ядра:

; см.

Аналогічно визначаються координати точок 3 і 4, що відповідають положенням 3₁–3₁ та 4₁–4₁ нейтральної вісі.

5. Визначаємо необхідні геометричні характеристики поперечного перерізу бруса 2–2.

Площа перерізу:

F_z = b₂h₂ = 60 ∙ 30 = 1800 см².

Квадрати радіусів інерції перерізу:

см²;

см².

6. Знаходимо відрізки, які відсікає нейтральна вісь на осях координат у, z від дії сили Р₁. Ці відрізки можна знайти за формулами (6.4).

У формулі (6.4) у_Р, z_Р – координати точки перетину лінії дії сили Р₁ з площиною поперечного перерізу 2–2.

Маємо у_Р = 8 см; z_Р = –7 см. Отже, за формулами (6.4) знаходимо:

см; см.

За цими даними проводимо нейтральну вісь (рис. 12.4).

7. Обчислюємоз нормальні напруження в точках А₂, В₂, С₂ і D₂ за формулою (6.3).

Координати точок А₂, В₂, С₂ і D₂, в яких визначаються напруження σ такі: А₂(30; –15); В₂(30; 15); С₂(–30; 15); D₂(–30; –15). Координати точок вказані в сантиметрах.

Отже, використовуючи формулу (6.3), маємо:

В цій формулі координати у і z потрібно підставляти в метрах.

Таким чином:

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

За цими даними будуємо епюру σ вздовж сторін поперечного перерізу бруса (рис. 12.4).

Рис. 12.4

Найбільше стискаюче напруження від сили Р₁ в перерізі 2–2 має місце в точці А₂, а найбільше розтягуючи напруження в точці С₂.

8. Побудова ядра перерізу 2–2.

Сумістимо спочатку нейтральну вісь зі стороною А₂В₂ (положення 1₂-1₂) (рис.12.5).

Рис. 12.5

В цьому разі:

см;

Тоді за формулами (6.5):

см; .

Отже, координати точки 1 ядра перерізу 2–2 визначені.

Сумістимо тепер нейтральну вісь із стороною А₂D₂ (положення 2₂–2₂). Маємо:

см.

Тоді координати точки 2 ядра:

; см.

Аналогічно визначаються координати точок 3 і 4, що відповідають положенням 3₂–3₂ та 4₂–4₂ нейтральних осей.

9. Знаходимо відрізки, які відсікає нейтральна вісь на осях координат y, z перерізу 2–2 при дії сили Р₂.

Ці відрізки можна знайти за формулами (6.4):

де y_p, z_p – координати точки перетину лінії дії сили Р₂ з площиною поперечного перерізу 2–2 брусу.

Маємо: y_p = 14 см; z_p = 8 см.

Отже, за формулами (6.4) знаходимо:

см; см.

За цими даними проводимо нейтральну вісь (рис.12.6).

10. Обчислюємо нормальні напруженняв точках А₂, В₂, С₂, D₂ перерізу 2–2 від дії сили Р₂ (координати цих точок наведені в пункті 7).

Використовуючи формулу (6.3), маємо:

Рис. 12.6

В цій формулі координати у і z потрібно підставляти в метрах.

Таким чином:

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

За цими даними будуємо епюру σ вздовж сторін поперечного перерізу 2–2 бруса (рис. 12.6).

Найбільше стискаюче напруження від дії сили Р₂ в перерізі

2-2 має місце в точці В₂, а найбільше розтягуюче напруження - в точці D₂.

11. Визначаємо нормальні напруження в точках А₂, В₂, С₂ і D₂ перерізу 2–2 при сумісній дії сил Р₁ і Р₂. Маємо:

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

За цими даними будуємо епюру σ вздовж сторін поперечного перерізу 2–2 бруса (рис. 12.7).

Найбільше стискаюче напруження від сумісної дії сил Р₁ і Р₂ в перерізі 2–2 має місце в точці В₂, а найбільше розтягуюче напруження в точці D₂.

При визначенні напружень отримуємо:

МПа < [σ_с] = 25 МПа;

МПа < [σ_Р] = 5 МПа.

Таким чином умова міцності бруса при стисканні силами Р₁ і Р₂ забезпечена.

Рис.12.7