Порядок розв’язання задачі

1. Визначити центр ваги, головні центральні осі перерізу та головні моменти інерції.

2. Визначити положення центру згинання поперечного перерізу.

3. Побудувати епюри нормальних напружень від N, M_y, M_z і B_ при заданій стискаючій силі F в точці А перерізу.

4. Побудувати сумарні епюри нормальних напружень. Сумарна епюра нормальних напружень будується шляхом накладення попередніх епюр.

5. Побудувати епюри зміни бімоменту В(х) і згинальнокрутного моменту М_ (х) по довжині стержня, один кінець якого жорстко закріплений.

Розрахунок тонкостінного стержня відкритого профілю на позацентрове стискання

Приклад. Для заданого тонкостінного стержня (поперечний переріз якого показано на рис. 14.1) потрібно:

• визначити центр ваги, положення головних центральних осей і підрахувати головні моменти інерції;

• визначити центр згинання і головний секторіальний момент інерції;

• від стискальної сили Р, прикладеної в точці Б перерізу, побудувати епюри нормальних напружень в долях Р; від осьової поздовжньої сили N; від моменту М_у; від моменту М_z; від бімоменту В;

• побудувати сумарну епюру нормальних напружень у частинах Р;

• визначити допустиму стискальну силу Р і побудувати кінцеву епюру нормальних напружень.

1. Унаслідок симетрії перерізу, центр ваги лежить на осі симетрії у, а сама вісь у є головною центральною віссю. Довільно проводимо вісь z₁. Координата центра ваги перерізу:

;

см³;

см²;

Рис. 14.1 (розміри в сантиметрах).

см.

Визначаємо моменти інерції відносно осей у та z (у, z – головні, центральні осі інерції):

см⁴;

Отже, маємо

.

2. Секторіальна площа являє собою подвійну площу, описану радіусом-вектором РА під час руху точки А по контуру від початку відліку О до деякого значення дуги s. Якщо радіус-вектор обертається за годинниковою стрілкою, приріст площі має знак «плюс», а якщо проти – «мінус». Секторіальна площа вимірюється в квадратних сантиметрах. Ця площа залежить від початку відліку і положення полюса:

.

Будуємо епюру секторіальної площі при довільно вибраному полюсі (рис 14.2).

Початок відліку дуги s потрібно вибирати так, щоб виконувалась умова:

. (а)

Якщо є вісь симетрії, то початок відліку О₁ потрібно розмістити на цій осі симетрії. У цьому випадку умова (а) буде виконана. Епюру показано на рис. 14.3.

Будуємо також епюри y та z, тобто закони зміни відстаней точок контуру від осей y i z (рис. 14.4 і 14.5).

Координати центра згинання:

; .

Рис. 14.2 Рис. 14.3

Розміри в сантиметрах

Рис. 14.4 Рис. 14.5

Оскільки товщина контуру стала, то . У цьому випадку:

; .

Для обчислення інтегралів, які входять у ці формули, можна користуватись правилом Верещагіна.

Розраховуємо:

см⁴;

см;

Відрізки y_c і z_c відкладаються від полюса в напрямку головних центральних осей y i z (рис. 14.6).

Тепер будуємо епюру головної секторіальної площі при центрі згинання P як при головному секторіальному полюсі.

Використовуємо співвідношення:

.

Рис. 14.6

Тут: – секторіальна площа при полюсі ; – те саме при полюсі y, z i – координати точок s і в системі координат y, z; а, b – координати полюса в системі координат , що має початок у точці і паралельні осям y i z.

У цьому випадку:

см; см, = 0.

Отже,

За цією формулою будуємо епюру головної секторіальної площі (рис. 7.7).

Точка 1. ;

Точка 2. см²;

Точка 3. см²;

Точка 4. см²;

Точка 5. см²;

Рис. 14.7

Точка 6. см²;

Точка 7. см²;

Точка 8. см²;

Точка 9. ;

Точка 10. см².

Визначаємо головний секторіальний момент інерції перерізу:

см⁶.

3. Якщо сила стискає, то напруження в будь-якій точці перерізу визначаються за формулою:

.

Уцьому випадку бімомент , отже:

,

де , , – ординати епюр , , у точці прикладення сили .

У нашому випадку:

см², см⁴, см⁴,

см⁶; см; см;

см²;

Отже,

.

Використовуючи цю формулу, будуємо епюри напружень , , і (рис. 14.8–14.11). Потім будуємо сумарну епюру (рис. 14.12).

Рис. 14.8 Рис. 14.9

Рис.14.10 Рис.14.11

Ординати всіх епюр (Рис. 14.8-14.12) необхідно помножити на 10^-3 P/см²

Рис.14.12

Точка 1.

.

Точка 2.

.

Точка 3.

.

Точка 4.

.

Точка 5.

.

Точка 6.

.

Точка 7.

.

Точка 8.

.

Точка 9.

.

Точка 10.

.

В формулах для визначення напруження в точках 1-10 сила Р виражена в Ньютонах (Н).

4. Найбільше за абсолютною величиною напруження .

За умовою міцності МПа.

Отже, . Звідси

.

Будуємо кінцеву епюру нормальних напружень (від сили

Р = 546 кН), (рис. 14.13).

Рис 14.13