Приклад 3

На стальну балку двотаврового перерізу падає з висоти h вантаж Q (рис. 13.4). Знайти найбільше динамічне напруження в балці. Розрахунок провести без урахування і з урахуванням маси балки. Як зміниться найбільше напруження в балці, якщо праву опору замінити пружиною, піддатливість якої α^пр.

Рис. 13.4

Дано: Q = 1600 Н; h = 0,04 м; а = 3 м; b = 2 м; l= 5 м;

; =2∙10^-5 м/Н; Двотавр №36 (ДСТУ 8239-89), .

Найбільше динамічне напруження при ударі визначається за формулою

де K_д – динамічний коефіцієнт при ударі; – максимальне напруження від статичної дії вантажу Q.

1. Спочатку розв’язуємо задачу без урахування маси балки

У цьому випадку

,

де – переміщення від статичної дії вантажу Q.

Для визначення величини використовуємо рівняння методу початкових параметрів:

де абсциси точок прикладення зосереджених пар сил , сил відповідно, початків рівномірно розподілених навантажень інтенсивністю . У формулі припускається, що початок координат співпадає з лівим кінцем балки.

Два початкових параметри із чотирьох у формулі є відомими при будь-якому методі обпирання лівого кінця балки.

В цьому разі при x=0, z₀ = 0; М₀ = 0;

Q₀ = R_A = .

На першій ділянці

x – Q₀;

_{Для другої ділянки}

;

Невідомий параметр знаходимо за умовою при x = l, z = 0.

Використовуючи рівняння прогинів на другій ділянці, отримаємо:

.

Звідси випливає:

.

Підставивши цей вираз в рівняння прогинів для першої ділянки, при x=a маємо:

Введемо позначення:

Отже остаточно маємо

.

Підставивши числові значення, дістаємо:

Знаходимо динамічний коефіцієнт

.

Динамічний прогин

.

Максимальне напруження від статичної дії вантажу:

;

.

Знаходимо найбільше напруження при ударі

.

Оскільки отримуємо дуже великий запас міцності, змінимо номер двотавра на менший, більш вигідний.

Візьмемо двотавр №14 (ДСТУ 8239-89)

м⁴, м³.

Тоді переміщення:

Динамічний коефіцієнт

Прогин .

Напруження

;

;

.

Розрахуємо цю задачу з урахуванням маси балки. У цьому випадку динамічний коефіцієнт визначаємо за формулою:

де Q₁ – вага балки; Q – вага вантажу; – коефіцієнт приведення розподіленої по довжині ваги балки до місця удару.

Вага одного погонного метра балки (питома вага) для двотавра №14 дорівнює q=137 Н/м.

Тому

;

Знаходимо динамічний коефіцієнт з урахуванням маси балки

Знаходимо найбільші динамічні напруження:

Врахування маси балки призводить до зменшення величини динамічного коефіцієнта та до зниження величини найбільшого динамічного напруження.

Розв’язуємо цю задачу для випадку, коли права опора балки замінена пружиною (рис. 13.5, а)

Рис. 13.5

Із подібності трикутників маємо (13.5, б):

Звідси

Визначаємо динамічний коефіцієнт:

Підставивши в цю формулу числові значення, отримаємо:

Знаходимо найбільше динамічне напруження:

Застосування пружини замість жорсткої опори дало змогу зменшити найбільше динамічне напруження в 1,56 рази.

8.2.2 Розрахунок складної балочної конструкції при ударній дії навантаження.

Приклад 1

На складну балочну конструкцію падає вантаж з висоти h (рис. 13.6, а). Балка АF – сталева, двотаврового поперечного перерізу, а балка DE – з деревини. Визначити динамічний коефіцієнт, а також найбільше динамічне напруження: в перерізі С сталевої балки і в перерізі А балки з деревини.

Дано:

Q = 6 кН; h = 4 см; модулі пружності для дерев’яної та сталевої балок Е_д=МПа; Е_с=МПа; коефіцієнт піддатливості пружини α = 0,6 см/кН.

Рис. 13.6

Розв’язання.

І. Для визначення динамічного коефіцієнта K_д треба статично прикласти силу Q в точці її співудару з балкою і визначити переміщення цієї точки – це і буде. В нашому випадку необхідно знайти переміщення точки С.

Перед усім належить виявити з яких складових буде складатися це переміщення. Тут воно складається:

а) з прогину в точці С балки АВ як балки на двох нерухомих опорах при згинанні (рис. 13.6, б);

б) із переміщення точки С недеформованої балки АВ в зв’язку з переміщенням (осадкою) точок А і В за рахунок деформації частин DE і BF.

Таким чином

.

Очевидно, що . Тут в знаменнику стоять характеристики жорсткості сталевого двотавра № 20. Тоді,

м = 2,17 мм.

Зміщення точки С недеформованої балки АВ можна визначити геометрично (рис. 13.6, в)

.

З рис. 13.7 видно, що точка В опуститься на стільки, на скільки прогнеться від сили Q/2 двотаврова балка BF (таблична формула)

Рис. 13.7

м = 1,59 мм.

Переміщення точки А складається із двох складових: прогину балки DE рис. 13.8.

м = 5,79 мм.

і опускання недеформованої балки DE за рахунок осадки пружини.

.

Рис. 13.8

Очевидно, що зусилля в пружині буде дорівнювати опорній реакції в точці D, а саме Q/4; тоді

Повертаючись до точки С, маємо

мм.

Динамічний коефіцієнт буде рівний

Найбільші нормальні напруження будуть виникати в перерізі С (сталева балка) і А (дерев’яна). Відповідні статичні згинальні моменти рівні

;

Статичні напруження:

МПа;

МПа.

Динамічні напруження

МПа;

МПа.

Якщо конструкція складна (як в нашому прикладі), то динамічний коефіцієнт однаковий для всієї конструкції.