Порядок розв’язання задачі
1. Задатись значенням коефіцієнта 1 = 0,5 і визначити потрібну площу поперечного перерізу А1.
2. Визначити розміри перерізу і підрахувати Jmin, іmin.
3. Визначити гнучкість колони 1 і за таблицею знайти 1 табл.. Як правило 1 табл значно відрізняється від 1.
4. Знайти середнє значення 2 = 0,5(1 + 1 табл) і визначити площу перерізу після другої спроби А2.
5. Визначити розміри перерізу й обчислити інші значення Jmin, іmin.
6. Обчислити гнучкість колони 2 і за таблицею знайти 2 табл. Якщо 2 табл значно відрізняється від 2 , зробити третю спробу і так далі до тих пір, поки n і n табл. будуть приблизно однакові.
7. Визначити остаточні розміри поперечного перерізу колони.
8.
Обчислити допустиме значення напруження
9. Обчислити напруження в колоні і порівняти його з допустимим. Різниця величин напружень не повинна бути більше 5 %.
10. Накреслити в масштабі колону і її поперечний переріз.
Рис.
19
Рис.
19
Рис.
19. Закінчення
Приклади розрахунків елементів конструкцій на стійкість
Приклад
1. Для стиснутого
стержня (рис. 16.6) підібрати розміри
поперечного перерізу. Матеріал - сталь
Ст3,
.
Дано:
Р=300
кН,
м,
h/b=1,5.
Розв’язання:
Умова стійкості стиснутого стержня має вигляд
,
(16.10)
де
F -
площа поперечного перерізу стержня, φ
- коефіцієнт зменшення основного
допустимого напруження для стиснутих
стержнів,
-
допустиме напруження на стійкість.
Рис. 16.6
Із формули (16.10), маємо
.
(16.11)
Задачу розв’язуємо методом послідовного наближення.
Перше наближення. Приймаємо φ0=0,5.
За формулою (16.11)
.
Так
як площа перерізу
=3750
мм2.
Звідси b=50 мм; h=75 мм.
Мінімальний момент інерції перерізу
,
Радіус інерції
.
Тобто
.
Обчислюємо
гнучкість
За таблицею значень φ для сталі Ст3
Методом інтерполяції
.
Друге наближення.
Площа перерізу
;
;
мм;
мм;
Радіус
інерції
мм;
Гнучкість
Шляхом
інтерполяції
Третє наближення.
мм2;
мм2;
мм;
мм;
мм;
Шляхом
інтерполяції знаходимо
Перевіряємо виконання умови стійкості стиснутого стержня
Має місце невелике перенапруження, тому трохи збільшимо розміри поперечного перерізу. Остаточно маємо
мм;
мм;
мм2;
Радіус
інерції
мм;
Гнучкість
Шляхом
інтерполяції з таблиць приймаємо
Тоді розрахункове напруження в стержні:
Умова стійкості за допустимими напруженнями виконується.
Обчислимо
критичне напруження і коефіцієнт запасу
стійкості за критичними напруженнями.
Так як гнучкість для даного стержня
(стр.
383), то для визначення критичних напружень
використовуємо формулу
,
Коефіцієнт запасу стійкості
.
Приклад 2. За допомогою таблиць коефіцієнта зменшення основного допустимого напруження для стиснутих стержнів потрібно підібрати розміри поперечного перерізу колони (рис. 16.7), виходячи з умови рівностійкості її по осям х і у.
Визначити критичне навантаження на колону за формулою Ейлера або за формулою Ясинського в залежності від гнучкості колони.Також визначити, з яким коефіцієнтом запасу працює колона.
Рис. 16.7
Дані для розрахунку:
Р
= 1500 кН, l
= 8 м,
iy=
0,44h,
iz
= 0,38b.
Розв’язання:
Підбір
перерізу проводимо методом послідовних
наближень. В першому наближенні приймаємо
.
За таблицями Дод. 7
За формулою 16.11:
Для заданого типу перерізу радіуси інерції можна знайти за наступними наближеними формулами
iy = 0,44h; iz = 0,38b. (16.12)
Умова рівностійкості колони по осях у і z має вигляд iy = iz.
Відомо,
що
,
звідси
,
оскільки iy
= iz,
то отримаємо
iy
= iz
=
см.
З формул (16.12) знаходимо h та b
см.
Підбираємо номер швелера, виходячи з його висоти h. Приймаємо швелер № 12 (ДСТУ 8240-97) з F = 13,3 см2. Площа двох швелерів Fшв= 26,6 см2. На листи припадає Fл = 187,5 – 26,6 =
= 160,9 см2, тобто листи необхідно взяти товщиною більше 6 см, що нереально. Це говорить про те, що коефіцієнтом φ ми задались невдало.
Друге наближення:
Приймаємо
= 0,8. За таблицею Дод. 7
Отже, за формулою (16.11):
Потім
см,
см.
Приймаємо за сортаментом швелер №18 (ДСТУ 8240-97):
F = 20,7 см2; Іy = 1090 см4; Іz = 86 см4.
см2;
см.
Приймаємо листи 21х1,8 см. Підраховуємо дійсні значення характеристик перерізу. Момент інерції перерізу відносно осі у см4,
см2,
Аналогічно
виконуємо наступні наближення і в
результаті приходимо до значення
.
За таблицею Дод. 7
Тоді
Приймаємо швелер №24 (ДСТУ 8240-97), F =30,6 см2,
Iy = 2900 см4, Iz = 208 см4, z0 = 2,42 см.
см2,
см.
Приймаємо листи 29х0,8 см.
см2,
см,
.
Для розрахунку приймаємо
.
Розрахункове (умовне) напруження:
Таким чином, остаточно приймаємо два швелери №24 і два листи 29х0,8 см.
Перевіримо стійкість колони відносно осі z.
Критична
сила визначається по різному в залежності
від гнучкості. Для сталі Ст.3
,
.
Якщо
,
– формула Ясинського.
Для сталі Ст.3 а = 266,7 МПа, b =0,667 МПа.
При
критична сила визначається за формулою
Ейлера.
В нашому випадку
Критична сила
Колона працює з коефіцієнтом запасу
