Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга

Теорема Дезарга детализирует свойства перспективного расположения трехвершинников. Жерар Дезарг (1593-1662) – французский математик, инженер и архитектор сформулировал свою замечательную теорему в 1636 году в работе, объемом в 12 страниц.

Трехвершинником называется фигура, составленная из трех точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника), и трех прямых попарно соединяющих эти точки (сторон трехвершинника). (Двойственным понятием является трехсторонник, состоящий из трех прямых, не проходящих через одну точку – сторон и трех точек – вершин - попарных пересечений сторон). Говорят, что трехвершинники ABC и ABC имеют центр перспективы Q, если вершины A и A, B и B, C и C лежат на прямых, проходящих через одну точку Q. Трехвершинники ABC и ABC имеют ось перспективы q, если стороны (АВ) и (AB), (BC) и (BC), (AC) и (AC) пересекаются в точках, лежащих на прямой q.

Т еорема Дезарга. Трехвершинники имеют центр перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы.

Рассматривая рисунок 6, замечаем, что невырожденная конфигурация Дезарга состоит из десяти точек (A, B, C, A, B, C, A, B, C, Q) и десяти прямых ((AA), (BB), (CC), (AB), (AC), (BC), (AB), (AC), (BC), q).

Допустим, что трехвершинники ABC и ABC лежат в одной проективной плоскости и имеют центр перспективы Q = (AA)(BB)(CC). Используя метод проективных координат, докажем, что трехвершинники ABC и ABC имеют ось перспективы q. В случае вырождения конфигурации, например, если точка Q лежит на одной из прямых (AB), (AC), (BC), или, если две какие-либо точки совпадают, то утверждение становится очевидным. Рассмотрим невырожденный случай. Пусть никакие три из четырех точек A, B, C, Q не лежат на одной прямой, тогда имеет место проективный репер  = (A, B, C, Q). Введем в рассмотрение координаты точек A, B, C в этом репере. Точка A принадлежит прямой (QA). Точка Q – единичная точка репера , Q(1, 1, 1), точка A – первая точка репера, A(1, 0, 0). Составим уравнение прямой (QA):

= –x² + x³ = 0

Если точка A не совпадает с точкой A, то можно положить A(a, 1, 1), где a – некоторое действительное число. Аналогично обозначим B(1, b, 1), C(1, 1, c); b, cR. Заметим, что a 1, b 1, c 1, т.к. A Q, B Q, C Q. Вычислим координаты точки C = (AB)(AB). Прямая (AB) – третья координатная прямая, её уравнение: x³ = 0. Найдем уравнение прямой (AB):

=x¹–x²+x³=(1–b)x¹+(1–a)x²+(ab–1)x³=0

Рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными x¹, x², x³:

Система имеет бесконечное множество решений, например, один из возможных вариантов это – (1–a, b–1, 0). Можно указать все решения системы:

, R

Поскольку координаты точки на проективной плоскости задаются с точностью до ненулевого сомножителя, то, без ограничения общности, полагаем =1 и окончательно имеем C = (1–a, b–1, 0). Аналогично B = (1–a, 0, c–1), A = (0, 1–b, c–1). Проверим, что точки A, B, C принадлежат одной прямой. Для этого составим определитель из их координат:

= – (1–b) + (c–1)= =(b–1)(1–a)(1–c)+(c–1)(1–a)(b–1)=0

Напомним, что три точки проективной плоскости лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Следовательно, точки A, B, C принадлежат одной прямой, которая является осью перспективы. Мы доказали прямое утверждение Дезарга для проективной плоскости о том, что наличие центра перспективы влечет за собой существование оси перспективы. Обратное утверждение двойственно исходному по принципу двойственности для проективной плоскости.

Задача 20. Разместить на плоскости десять деревьев в десяти рядах по три в ряду.

Задача 21. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара прямых p и q, пересекающихся за пределами чертежа в недоступной точке В. Используя теорему Дезарга, построить доступную часть прямой (АВ).

Задача 22. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую, параллельную двум заданным не совпадающим прямым p и q.

Задача 23. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию [AB], p(AD)=M, p(AC)=P, q(BD)=N, q(BC)=Q. Доказать, что точка (MN) (PQ) лежит на прямой (AB).

З адача 24. Внутри треугольника АВС выбрана точка D и проведены прямые (AD), p и q, так что p||q||(AD), p(AB)=M, p(DB)=P, q(AC)=N, q(DC)=Q (см. рис.7). Доказать, что прямые (MN), (PQ) и (BC) принадлежат одному пучку.

Замечание. Проективную плоскость можно рассматривать над некоторым кольцом. (При этом необходимо дать «внутреннее» определение проективной плоскости, не вкладывая плоскость в трехмерное пространство).

Доказано [8], что при этом кольцо является телом тогда и только тогда, когда на проективной плоскости замыкается конфигурация Дезарга. Дезарговость проективной плоскости равносильна возможности её вложения в трехмерное пространство.

В дальнейшем мы рассмотрим конфигурацию Паппа, состоящую из 9 точек и 9 прямых. Если на проективной плоскости замыкается конфигурация Паппа, то замыкается и конфигурация Дезарга; обратное, вообще говоря, неверно, если мы рассматриваем проективную геометрию над телом. Если на проективной плоскости над телом замыкается конфигурация Паппа, то тело является полем.

Теорема Дезарга верна в случае, когда перспективные трехвершинники расположены в разных плоскостях трехмерного проективного пространства. Допустим, что трехвершинники ABC и ABC имеют центр перспективы Q и расположены соответственно в плоскостях и (рис. 8). Т.к. Q = (AA)(BB), то точки A, B, A, B лежат в одной плоскости, и прямые (AB) и (AB) имеют точку пересечения C, которая обязательно принадлежит прямой пересечения плоскостей и . Аналогично, ((AC)(AC)), ((BC)(BC)), и, следовательно, есть ось перспективы трехвершинников ABC и ABC. Обращая рассуждения, убеждаемся в обратном, т.е. если трехвершинники ABC и ABC, расположенные в разных плоскостях трехмерного проективного пространства имеют ось перспективы, то они и меют и центр перспективы.

Замечание. В трехмерном проективном пространстве прямая и обратная теоремы Дезарга не двойственны.