3. Энергия электростатического поля

При зарядке плоского конденсатора производится такая же работа, как и при раздвижении его пластин от соприкосновения до расстояния, равного d (рис. 3.10). Действительно, если две пластины такого конденсатора имеют заряды и , то, сдвинутые вместе, они во всех окружающих точках создают поле с напряженностью и потенциалом равным нулю. При раздвигании пластин плоского конденсатора, как мы видели, поле сосредоточено между ними, если пластины достаточно велики.

Примем за неподвижную одну из пластин конденсатора, например отрицательную (рис. 3.10). Работа электрического поля при перемещении одной положительной пластины в однородном поле другой пластины

,

где модуль вектора напряженности поля одной отрицательной пластины. Следовательно, работа при раздвигании пластин

.

Потенциальная энергия поля конденсатора равна работе электрического поля с обратным знаком:

.

Введем понятие объемной плотности энергии поля в данной точке – величины, измеряемой отношением энергии в некотором объеме поля, к этому объему (если по объему энергия распределена равномерно):

.

Энергия бесконечно малого объема поля и энергия конечного объема .

Во всех точках однородного поля объемные плотности энергии одинаковы и .

В плоском конденсаторе как раз такое поле, значит,

.

Объемная плотность энергии в данной точке любого поля тоже равна этому выражению. В самом деле, можно представить себе однородное поле с диэлектрической проницаемостью и напряженностью , в каждой точке которого будет такая же объемная плотность энергии.

В неоднородном поле эта объемная плотность энергии меняется от точки к точке и не может быть вынесена из-под интеграла. Следовательно, энергия конечного объема такого поля

.

2. Постоянный ток

   1. Электрическая цепь. Законы Кирхгофа

Е сли две точки электрического поля, имеющие разные потенциалы, соединить проводником (рис. 3.11, для определенности ), то свободные заряды проводника под действием электрических сил начнут направленное движение. Положительные свободные заряды будут двигаться в направлении силовых линий, отрицательные – наоборот. Любое такое движение приведет к уменьшению большего и к увеличению меньшего потенциала, т.е. к уменьшению разности потенциалов.

Назовем электрическим током упорядоченное движение зарядов.

Из опыта следует, что для осуществления длительного электрического тока необходимо создать и поддерживать разность потенциалов. Устройство, создающее и поддерживающее разность потенциалов, называется генератором⁸ электрического тока. Кроме создания определенного электрического поля надо иметь в достаточном количестве свободные заряды; обычно это осуществляется соединением проводников в электрическую цепь (рис. 3.12, левый провод изображен объемным).

В состав электрической цепи обязательно входят: источник тока (генератор), потребитель тока, соединительные провода; часто применяются приборы управления и измерительные приборы.

Генератор создает и поддерживает разность потенциалов на всех участках цепи; иначе, он порождает электрическое поле, характеризующееся вектором , в каждой точке цепи, в том числе и внутри проводников, что невозможно было бы в электростатике. Свободные заряды под действием электрических сил движутся направлено по внешней (относительно источника) части цепи. Но внутри генератора (внутренняя часть цепи) свободные заряды, замыкая цепь, должны двигаться против электрических сил (рис. 3.12), что возможно только при наличии других неэлектростатических сторонних сил.

Под действием сторонних сил свободные заряды движутся по цепи, при этом генератор совершает определенную работу, значит он должен обладать достаточным запасом энергии. В различных источниках тока (гальванические элементы, индукционные генераторы и др.) сторонние силы имеют разную природу.

В проводнике помимо свободных зарядов имеются незаряженные частицы и связанные заряды. Все они участвуют в хаотическом движении, равновероятном во всех направлениях. При наложении электрического поля под действием электрических сил появляется преимущественное направление упорядоченного движения свободных зарядов. За направление тока принято направление движения положительных свободных зарядов, т.е. направление от плюса к минусу во внешней цепи (независимо от природы свободных зарядов, участвующих в токе).

Под действием электрического поля в вакууме свободные заряды двигались бы ускоренно, в веществе они движутся в среднем равномерно, так как часть энергии упорядоченного движения отдают частицам вещества при различных взаимодействиях. Таким образом, проводник оказывает сопротивление упорядоченному движению свободных зарядов, часть энергии этого движения передается проводнику и переходит в его внутреннюю энергию.

Величина, характеризующая свойство проводника уменьшать скорость упорядоченного движения свободных зарядов, называется электрическим сопротивлением R данного проводника (активное сопротивление).

Если в простейшей модели рассматривать сопротивление проводника как результат соударений направленно движущихся свободных зарядов с частицами вещества, то оно должно быть пропорционально длине l проводника, так как на большей длине будет больше соударений. Конечно, «соударения» не являются механическими, взаимодействуют свободные и связанные заряды своими полями. Благодаря прохождению свободных зарядов искажается даже идеальная кристаллическая решетка проводника. Именно на этих искажениях кристаллической структуры рассеивается энергия упорядоченного движения зарядов. Количество искажений и их величина уменьшаются при увеличении площади S поперечного сечения проводника, поэтому сопротивление проводника должно быть обратно пропорционально этой площади. Приходим к выводу, хорошо согласующемуся с экспериментом: .

Введем коэффициент пропорциональности и запишем последнюю зависимость в виде равенства

.

Коэффициент пропорциональности численно равен сопротивлению проводника единичной длины и единичного поперечного сечения и называется удельным сопротивлением материала проводника.

Взаимодействие частиц проводника с упорядоченно движущимися зарядами зависит и от хаотического движения этих частиц, т.е. от температуры проводника. Для описания этой зависимости обозначим и – удельное сопротивление данного проводника соответственно при температурах Т₀=273 К и Т. Изменение удельного сопротивления при изменении температуры на равно , а относительное изменение удельного сопротивление при таком нагревании . Отношение относительного изменения удельного сопротивления к соответствующей разности температур называется температурным коэффициентом сопротивления:

.

Удельное сопротивление, таким образом, при постоянном температурном коэффициенте сопротивления линейно зависит от температуры:

.

Зависимость сопротивления от температуры можно выразить в виде

,

где сопротивление данного проводника при температуре Т₀.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью:

.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

.

Введем ряд других величин, характеризующих цепь электрического тока.

Пусть за какое-то малое время от момента t до момента t+Δt через произвольное поперечное сечение проводника прошел заряд Δq. Разделим заряд на время его прохождения и устремим полученную дробь к пределу при Δt0. Мы получили величину, измеряемую отношением заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за некоторое время, к этому промежутку времени – силу тока в проводнике в момент времени t:

.

Сила тока равна первой производной заряда по времени. Заряд, прошедший за время dt через поперечное сечение проводника, . За конечное время t через данное сечение проходит заряд

.

Назовем постоянным ток, сила которого не изменяется со временем. Для такого тока , откуда .

9. Покажите, что сила тока во всех сечениях последовательной цепи одна и та же.

Точка цепи, в которой пересекаются больше двух проводников, называется узлом. По закону сохранения зарядов алгебраическая сумма зарядов, протекающих через узел за какое-то время, равна нулю (положительные заряды, движущиеся к узлу, считаются со знаком плюс, движущиеся от узла – со знаком минус, отрицательные – наоборот). Разделив все эти заряды на время их прохождения через узел, получим первое правило Кирхгофа:

алгебраическая сумма сил токов, проходящих через узел, равна нулю: .

Как было установлено, на каждом участке цепи происходит превращение части энергии упорядоченного движения зарядов (тока) в какую-то другую энергию (в простейшем случае – внутреннюю). Следовательно, на каждом участке цепи совершается работа электрическими и сторонними силами.

Величину, измеряемую отношением работы сторонних сил при перемещении по данному участку цепи к заряду, назовем электродвижущейся силой (э.д.с.) на участке:

.

Преобразуем формулу напряжения:

,

где разность потенциалов начала и конца участка цепи; – алгебраическая сумма э.д.с. источников, находящихся на этом участке. Из этого определения должно быть ясно различие понятий «разность потенциалов» и «напряжение на участке цепи». В частном случае для участка цепи, не содержащего источников⁹, напряжение равно разности потенциалов (вот почему эти понятия часто считают тождественными).

Падение напряжения на участке цепи измеряется энергией, которую единица заряда отдает данному участку цепи. По закону сохранения энергии падение напряжения равно напряжению на том же участке. Сложим теперь падения напряжения на всех участках какого-либо замкнутого контура произвольной электрической цепи. Тогда сумма разностей потенциалов будет равна нулю (вспомните формулу работы по замкнутому контуру в электрическом поле) и

_i ,

где n – число участков замкнутого контура;

k – число источников тока в этом контуре.

Мы получили второе правило Кирхгофа:

алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э.д.с., включенных в этот контур.

10. Как Вы думаете, что представляет собой второе правило Кирхгофа с энергетической точки зрения?