2. Пружинный маятник

В качестве простейшей колебательной системы рассмотрим горизонтальный пружинный маятник.

Шарик массой т может без сопротивления скользить по горизонтальному стержню (рис. 4.1). Сила тяжести уравновешивается реакцией стержня и может не учитываться. К шарику и к стенке прикреплена пружина жесткостью k и пренебрежимо малой массой. Таким образом, можно считать всю массу системы сосредоточенной в шарике, всю упругость – в пружине. Растяжение пружины равно нулю, когда шарик находится в положение О. Смещение х шарика в любой момент времени равно деформации пружины. Амплитуда колебаний А.

Маятник совершает колебания около положения О, двигаясь поступательно. Для описания такого движения известно основное уравнение динамики поступательного движения:

.

Сила, действующая на шарик, – это сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука:

.

Следовательно, в проекциях на направление движения:

.

Мы получили, что ускорение маятника

,

т.е. пропорционально смещению и направлено к положению равновесия. Это одно из определений гармонических колебаний.

Вспомним, что . Тогда

или .

Это уравнение гармонических колебаний пружинного маятника обычно записывают в виде

. (4.5)

Оно представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без первой производной. Решение уравнения (4.5) должно иметь вид

. (4.6)

Коэффициент называется круговой или циклической частотой. Выражение , стоящее под знаком косинуса, называется фазой колебаний (она задает положение маятника в произвольный момент времени t), а постоянная называется начальной фазой колебаний (она определяет положение маятника в начальный момент времени).

Первая производная смещения по времени имеет смысл скорости:

. (4.7)

Вторая производная смещения – это ускорение

. (4.8)

Подставим выражение (4.6) и (4.8) в уравнение (4.5). Если выражение (4.6) – его решение, то оно обратит это уравнение в тождество:

.

Ни амплитуда колебаний, ни не равны нулю тождественно (т.е. в любые моменты времени). Поэтому на них можно почленно разделить полученное тождество:

.

До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на коэффициент при t в (4.6). Теперь видно, что выражение (4.6) действительно обращает уравнение (4.5) в тождество при условии

. (4.9)

Мы получили закон колебаний пружинного маятника в форме косинусоиды (4.6). Этот закон должен подчинятся условию периодичности:

,

где период незатухающих колебаний пружинного маятника.

Это условие принимает вид:

.

Равенство косинусов означает, что аргументы отличаются на , так как косинус – периодическая функция с периодом . Поэтому

,

откуда после очевидных преобразований получаем

. (4.10)

Если взять единиц времени и разделить на время одного полного колебания , то получится число колебаний за выбранное время. Следовательно, круговая или циклическая частота равна числу полных колебаний, которые система может совершить за единиц времени.

Величина связана с параметрами системы условием (4.9). Теперь появляется возможность вычислить частоту собственных колебаний или их период.

Период колебаний пружинного маятника

. (4.11)

1. Спиральная пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на х см. Если груз оттянуть в низ, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль вертикальной линии. Определите период колебания груза.