3. Плоская волна

Имеем плоскую монохроматическую (одна частота вибратора) гармоническую волну в однородной безграничной непоглощающей среде. Такую волну можно рассматривать как одномерную (рис. 4.20, все точки с одной координатой движутся одинаково). Пусть генератор, находящийся в точке , совершает гармонические колебания по закону

.

Здесь смещение в точке в момент времени t (а не смещение в момент времени t=0!); А – амплитуда колебаний, которую мы будем считать одинаковой во всех точках, пренебрегая поглощением среды; круговая частота колебаний генератора, равная частоте вынужденных колебаний всех точек волнового поля. Положим начальную фазу колебаний генератора равной нулю (соответственно выбрав начало отсчета времени). Все точки волнового поля совершают одинаковые движения, как было выяснено, с некоторым запаздыванием. В момент времени t фаза генератора . В произвольную точку волнового поля с координатой эта фаза придет через некоторое время запаздывания время движения возмущения от генератора до рассматриваемой точки. По уравнению равномерного движения . С таким же успехом можно сказать, что в момент времени t, когда у генератора фаза , фаза колебаний в точке с координатой на меньше. Следовательно, смещение в точке с координатой в тот же момент времени t

.

Расстояние, пройденное волной за период колебаний генератора, называют длиной волны:

. (4.36)

Коэффициент при координате точки

(4.37)

называется волновым числом.

Длина волны – некоторое расстояние. Если 2 единиц длины разделить на , то получится число таких отрезков, уложившихся на выбранной длине. Следовательно, волновое число равно числу длин волн, укладывающихся на 2 единицах длины. Обратите внимание на сходство (и различие) циклической частоты

, (4.38)

характеризующей повторяемость процесса во времени, и волнового числа , характеризующего повторяемость процесса в пространстве.

Мы получили смещение точки с координатой в момент времени t в виде

. (4.39)

Это уравнение плоской бегущей монохроматической волны в однородной непоглощающей среде. В наипростейшем случае волнового движения смещение зависит от времени и координаты, т.е. является функцией двух переменных. В некоторой точке происходят обыкновенные гармонические колебания по закону , включающему в качестве начальной фазы (на которую и будет в любой момент времени отличаться фаза колебаний в этой точке от фазы колебания генератора) Рассматривая совокупность колеблющихся точек в определенный момент времени, мы получим распределение фаз в волновом поле, причем чем дальше от генератора, тем фаза колебаний меньше.

Итак, в плоской монохроматической волне фазы непрерывно изменяются (возрастая в каждой точке; кривая на рисунке 4.21 равномерно движется вдоль ) во времени и распределены в пространстве (в один момент времени, уменьшаясь при удалении от источника).

Разность фаз двух произвольных точек с координатами и в один момент времени

. (4.40)

Смещение точек 1 и 2 на рисунке 4.21 одинаковы, и в следующий момент времени смещение точки 1 уменьшится, а точки 2 увеличится. Найдем расстояние между такими точками, смещения которых одинаковы в любой момент времени: . Для них

.

Но равенство косинусов означает, что аргументы отличаются на : . Отсюда

.

Расстояние между такими точками

.

Следовательно, точки, смещения которых всегда одинаковы, отстоят друг от друга на целое число длин волн; про такие точки часто говорят, что они колеблются «в фазе».

Ближайшими такими точками будут точки, для которых , . Таким образом, длина волны равна расстоянию между точками, колеблющимися с разностью фаз или, что то же самое, – ближайшему расстоянию между точками, колеблющимися «в фазе».

10. Выражение «в фазе» часто понимают в смысле «без разности фаз» или «с одинаковыми фазами», что неправильно. почему?

В волновом поле различают две скорости – колебательную скорость каждой его точки и скорость волны – скорость распространения колебаний от точки к точке. Колебательная скорость в данной точке (r=const):

. (4.41)

Скорость волны (в частности, упругой) мы определяли по формуле (4.35). Должно быть совершенно ясно различие этих скоростей. Что же распространяется вдоль волнового поля со скоростью ? Точки волнового поля остаются на своих местах, от одной точки к другой переходит фаза колебаний. Это ясно из уравнения (4.39): если в некоторый момент времени определенная фаза есть у точки с координатой , то через некоторое время, когда первое слагаемое увеличивается, та же фаза будет у точки с координатой . Поэтому скорость распространения волнового процесса называется фазовой скоростью.

Скорость распространения волны зависит от свойств среды [см. (4.35)], а период определяется работой генератора и не зависит от свойств среды. Следовательно, при переходе из одной среды в другую изменяется длина волны, а частота остаётся неизменной.