5. Энергия незатухающих гармонических колебаний

Пружинный маятник, совершающий гармонические колебания, имеет кинетическую и потенциальную энергии, сумма которых является полной энергией маятника.

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

.

Здесь максимальная кинетическая, максимальная потенциальная энергия пружинного маятника. Приходим к выводу, что энергия пропорциональна квадрату соответствующих амплитуд – скорости или смещения.

Полная энергия пружинного маятника

Мы доказали, что полная энергия гармонически колеблющейся системы постоянна и равна максимальной кинетической (в положении равновесия) или максимальной потенциальной (в крайних точках) энергии.

Совершенно аналогично изменяются потенциальная и кинетическая энергия в гармонических колебаниях других маятников, и энергии электрического и магнитного полей в колебательном контуре. Например, энергия магнитного поля катушки

, (4.21)

энергия электростатического поля конденсатора

.

5. Покажите, что энергии магнитного и электрического полей изменяются аналогично случаю с пружинным маятником, что они взаимно превращаются в равных количествах друг в друга, так что их сумма остается неизменной и равной максимуму одной из них.

В реальных условиях любой колебательной системы неизбежны потери, поэтому для получения практически незатухающих колебаний тем или иным способом надо пополнять запасы расходуемой энергии. Сами по себе собственные колебания системы проходят с уменьшающейся амплитудой – это затухающие колебания. Как мы видели, энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Расходуется энергия – соответственно уменьшается амплитуда.

6. Сложение колебаний

Пусть на систему воздействует несколько колебательных процессов. По принципу суперпозиции в каждый момент времени результирующее смещение будет векторной суммой составляющих. В случае сложения колебаний скалярных величин или направленных по одной прямой векторов результирующее смещение равно алгебраической сумме составляющих. Если складываются гармонические колебания произвольных частот (рис. 4.8), то сложение сводится к суммированию ординат в каждый момент времени (чем больше точек, тем точнее). Складывать колебания равных частот удобнее с помощью векторной диаграммы.

Рассмотрим скалярное сложение гармонических колебаний одинаковых частот:

.

Здесь смещения в момент времени t; амплитуды; круговая частота складываемых колебаний; их начальные фазы. Отложим амплитуды этих колебаний в момент времени t на векторной диаграмме (рис. 4.9). Сумма мгновенных значений и равна сумме проекций векторов и . Векторно сложим амплитуды, получим вектор А, проекция которого х, по известной математической теореме, равна сумме проекций и (теорема гласит: проекция суммы векторов на любое направление равна сумме проекций этих векторов на выбранное направление). Вспомним теперь, что векторы ( и, следовательно, А) равномерно вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью . Углы между ними не изменяются, т.е. весь параллелограмм амплитуд вращается как одно целое. Проекция равномерно вращающегося вектора неизменной длины А – гармонически изменяющаяся функция . Она является суммой двух гармонически изменяющихся величин и . Неизвестные А и найдем тоже из векторной диаграммы, применив уже упомянутую теорему о проекциях и теорему косинусов. В наших обозначениях

.

Учитывая, что

, получим

, (4.22)

и .

Если векторная диаграмма изображена на рисунке 4.10 в момент времени , то угол , образуемый вектором А с горизонтальной осью, равен начальной фазе результирующего процесса. Из треугольника ОМА

.

По теореме о проекциях, , . Значит

, (4.23)

откуда равно арктангенсу правой части равенства (4.23).

Итак, результат скалярного сложения двух гармонических колебаний одинаковых частот – гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются выражениями (4.22) и (4.23). Этот результат, естественно, можно обобщить на случай аналогичного сложения нескольких гармонических колебаний одинаковых частот.

6. Как будут определяться амплитуда и начальная фаза результирующего процесса сложения нескольких гармонических колебаний одинаковых частот?