3. Связь напряженности и разности потенциалов

Выберем две достаточно близкие эквипотенциальные поверхности (так что напряженности всех точек между ними могут считаться одинаковыми, рис. 3.3). Потенциалы этих поверхностей обозначим φ и φ+dφ, причем для определенности примем, что поле создано положительным зарядом, расположенным слева от поверхностей. Величина dφ представляет собой разность потенциалов конца и начала перемещения и называется приращением потенциала при этом перемещении.

Работа поля при перемещении заряда q₀ вдоль вектора равна

или

.

Приравняв правые части этих двух выражений, получим , откуда

,

где dφ – увеличение потенциала на рассматриваемом перемещении (разумеется, оно может быть и отрицательным, как в нашем примере). Перемещение может быть направлено произвольно, а его модуль зависеть от направления (при заданных эквипотенциальных поверхностях и, следовательно, dφ) и будет наименьшим в направлении нормали к эквипотенциальным поверхностям или при ||. В этом направлении изменение потенциала на единицу длины наибольшее, обычно говорят о направлении наибыстрейшего изменения потенциала.

Из последней формулы легко получить выражение

(если ||).

Следовательно, вектор напряженности по модулю равен разности потенциалов на единице длины в направлении наибыстрейшего изменения потенциала. Направление вектора напряженности противоположно направлению наибыстрейшего возрастания потенциала.

7. Обратите внимание на сходство описания электростатического и гравитационного полей. Там тоже можно ввести напряженность и потенциал, считать работу через разность потенциалов. Зависимость сил, напряженностей и потенциалов от расстояния аналогичны. Но есть и различия. Какие?

3. Электроемкость

Заряды в веществе бывают свободными и связанными. Свободные заряды могут без затраты энергии двигаться по объему тела, участвуют в хаотическом движении и под действием электрических сил преимущественно движутся вдоль электрического поля. Связанные заряды принадлежат данной молекуле и без больших затрат энергии не могут ее покинуть. В зависимости от концентрации свободных зарядов различают три типа вещества – проводники, диэлектрики и полупроводники.

Вещество с большой концентрацией свободных зарядов – проводник; с малой концентрацией свободных зарядов – диэлектрик; с промежуточной – полупроводник. Конечно, критерии «с большой» и «с малой» относительны и условны; нет резкой границы, отделяющей одну группу веществ от другой.

Рассмотрим уединенный проводник. Если бы его можно было зарядить до предела, то емкостью мы назвали бы максимальный заряд, умещающийся на нем. Но проводник можно заряжать практически неограниченно. Назовем электроемкостью данного проводника величину, измеряемую отношением заряда, сообщенного проводнику, к изменению потенциала, вызванному этим зарядом:

.

Тогда заряд, сообщенный проводнику, . Конечный заряд изменяет потенциал данного проводника от до . Следовательно, емкость проводника равна

.

Наконец, если заряд q изменил потенциал данного проводника от 0 до φ, то

. (3.1)

В СИ электроемкость выражают в фарадах (Ф).

Емкость уединенного проводника не зависит от его массы и от материала проводника, а определяется его формой и размерами.

П оместим вблизи заряженного проводника другой незаряженный проводник (рисунок 3.4). Вследствие электризации на последнем проводнике наводятся заряды, что уменьшает потенциал заряженного проводника (по принципу суперпозиции потенциал создается всеми действующими зарядами). Так как заряд проводника не изменился, то в соответствии с формулой (3.1) увеличивается его емкость. Еще сильнее будет это увеличение, если проводник заземлить (рис. 3.5).

Поместим вблизи заряженного проводника диэлектрик (рис. 3.6). Вследствие поляризации на нем наведутся заряды, что приведет к уменьшению потенциала проводника, и, следовательно, к увеличению его емкости. Например, емкость сферического проводника в диэлектрике

.

Особенно большой емкостью должна обладать система двух проводников, разделенных диэлектриком. Такая система называется конденсатором⁷. В зависимости от формы проводников различают конденсаторы плоские, сферические, цилиндрические и т.п.

Простейшим является плоский конденсатор (рис. 3.7), поле внутри которого можно считать однородным, если линейные размеры пластин гораздо больше расстояния между ними. Емкость такого плоского конденсатора

.

Здесь S – площадь одной пластины; и d – диэлектрическая проницаемость и толщина диэлектрика.

8. Отчего не зависит и зависит электроемкость конденсаторов?

Несколько соединенных конденсаторов образуют батарею. Различают последовательное и параллельное соединение конденсаторов в батарею.

Последовательным называется соединение, при котором одна пластина каждого конденсатора соединяется с одной пластиной следующего или предыдущего.

Источник постоянного напряжения соединяется с левой пластиной первого и с правой – последнего конденсатора батареи. Сумма зарядов внутренних пластин (обведены пунктиром, рис. 3.8) остается равной нулю (через диэлектрик заряды практически не проходят), следовательно , и т.д. Значит, по абсолютному значению одинаковы заряды на всех конденсаторах и на батарее последовательно соединенных конденсаторов. Потенциалы соединенных пластин соседних конденсаторов одинаковы (по крайней мере, при отсутствии тока в цепи). Разность потенциалов на конденсаторах и батарее:

.

Простые преобразования дают

.

Таких слагаемых будет столько, сколько конденсаторов последовательно соединены в батарею. Итак, разность потенциалов на батарее равна сумме разностей потенциалов на конденсаторах:

.

Из определения емкости . Подставим это выражение в полученную формулу:

(здесь С – емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов, q – заряд на батарее и, как сказано выше, на каждом конденсаторе). Его можно вынести за знак суммы и сократить. Получаем

.

Величина, обратная емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных емкостям от отдельных конденсаторов этой батареи.

Параллельным называется соединение, при котором все конденсаторы включены между двумя определенными точками (А и В, рис. 3,9). Разности потенциалов на пластинах таких конденсаторов одинаковы и равны разности потенциалов на батарее. заряды на одноименных пластинах конденсаторов складываются и образуют заряд на одной суммарной «пластине» батареи:

.

Из определения емкости . Подставляем это выражение в полученную формулу:

.

Одинаковые разности потенциалов можно вынести за знак суммы и сократить:

.

Таким образом, ёмкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей этих конденсаторов.