7. Вынужденные колебания

Мы уже говорили (см. 4.1.4), что сами по себе собственные колебания реальной системы затухают. Одним из самых важных способов поддержания незатухающих колебаний в реальных условиях является навязывание системе колебаний, которые она сама не совершала бы. Для этого систему подвергают внешнему воздействию, заставляя ее совершать вынужденные колебания. Они совершаются по закону изменения и с частотой вынуждающего воздействия. Из всех вынужденных колебаний мы рассмотрим только те, которые вызываются внешними воздействиями. Через некоторое время после включения внешнего воздействия, когда затухнут собственные колебания системы, она будет совершать колебания по закону вынуждающего воздействия. В качестве примера таких колебаний разберем колебания пружинного маятника и колебательного контура в реальных условиях. На пружинный маятник (рис. 4.11) действуют: сила тяжести , сила упругости пружины , архимедова сила , сила сопротивления движению , наконец, вынуждающая сила, изменяющаяся по заданному гармоническому закону . Как мы уже сказали, закон вынужденных колебаний можно написать еще до уравнения этих колебаний:

, (4.24)

где круговая частота вынуждающей силы.

Но в этом законе неизвестны амплитуда А и начальная фаза . Поэтому придется составить уравнение движения. Пока на пружине не было шарика (сама пружина невесома), ее длина соответствовала отметке 0 (на этой отметке весел бы невесомый шарик).

При неподвижном шарике пружина растянулась на (статическое растяжение). Шарик находится в равновесии, если . Уровень есть положение равновесия данного маятника, от него удобно отсчитывать смещение.

Включим внешнюю гармоническую силу (на рис. 4.11 она схематично показана тягой, работающей от равномерно вращающегося эксцентрика). Через некоторое время маятник будет совершать незатухающие вынужденные колебания. Из основного уравнения динамики поступательного движения найдем уравнение движения маятника:

.

Иначе

.

Первые три слагаемых взаимно уничтожаются, следовательно,

или .

Мы получили уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Обозначим: . Тогда уравнение вынужденных гармонических колебаний пружинного маятника примет вид

. (4.25)

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Оставим его на время и рассмотрим электрическую аналогию вынужденных колебаний – колебания в контуре (рис. 4.12), в котором включена гармонически изменяющаяся э.д.с. =. По прошествии достаточного времени и здесь будут вынужденные колебания, закон которых

. (4.26)

уравнение колебаний получим из второго правила Кирхгофа:

.

В нашем контуре . Следовательно, . Иначе,

,

или (/L).

Введя аналогичные обозначения

(4.27)

и ,

получим

(/L). (4.28)

– уравнение вынужденных колебаний в колебательном контуре, подобное (4.25). Еще раз убеждаемся: однотипные колебания совершаются одинаково, несмотря на различные системы. Уравнения (4.25) и (4.28) описывают подобные процессы с разными объектами и аналогично решаются. Поэтому достаточно рассмотреть одно из них, например последнее.

Если – заряд на конденсаторе, то сила тока в контуре

,

а ее изменение за единицу времени

.

Наибольшая сила тока связана с амплитудой заряда простым соотношением

(4.29)

преобразуем найденные выражения силы тока и скорости его изменения, пользуясь формулами приведения

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение колебаний:

(/L).

Это тождество представляет собой сумму гармонических колебаний одинаковых частот. Изобразим слагаемые левой части тождества на векторной диаграмме (рис. 4.13). Мы не знаем, конечно, величин и , но они имеют определенное значение. Некоторый угол обозначим , прибавим к нему известное значение и получим в данный момент времени t фазу заряда. Определенный отрезок обозначим , умножим его на известные величины , , получим векторы амплитуд слагаемых левой части уравнения. Отложим под углом к горизонтальной оси вектор амплитуды третьего слагаемого . Под углом к этому направлению построим вектор амплитуды второго слагаемого . Под углом к горизонтальному направлению изобразим вектор амплитуды первого слагаемого .

Теперь на векторной диаграмме изображены амплитуды всех слагаемых левой части уравнения колебаний. Но сумма трех гармонических колебаний одинаковых частот есть гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого равна векторной сумме амплитуд слагаемых.

Сложим первую и третью амплитуды. Получится вектор, направленный вдоль той же прямой и равный их разности . Сложим его векторно с оставшейся амплитудой, т.е. построим параллелограмм на этих векторах. Его диагональ представляет собой векторную сумму всех амплитуд левой части рассматриваемого тождества. Ее проекция на горизонтальную ось – мгновенное значение всей левой части тождества. Оно должно быть в любой момент времени равно мгновенному значению правой части, т.е. проекция амплитуд левой и правой части равенства должны быть равны тождественно. Это возможно только при совпадении амплитуд левой и правой частей тождества.

Вектор амплитуды правой части равен /L. Угол его наклона к горизонтальной оси в момент времени t равен фазе вынуждающего воздействия . Обозначим угол между амплитудами и /L. Этот угол очень важен в электротехнике переменных токов. Угол на векторной диаграмме – это сдвиг фаз соответствующих колебаний. Амплитуда , т.е. с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудой силы тока, а /L с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудой приложенного к контуру напряжения. Угол представляет собой сдвиг по фазе между силой тока и напряжением. Из векторной диаграммы проще всего найти и . По теореме Пифагора (/L)², откуда амплитуда заряда на конденсаторе

. (4.30)

По определению,

. (4.31)

Из рисунка 4.13 . Отсюда . теперь все величины, входящие в закон вынужденных колебаний (4.26), известны.

Амплитуда силы тока в контуре

. (4.32)

Преобразуем эту формулу, учитывая, что и :

=

= = =

= = . (4.33)

Видно, что выражения

и

являются сопротивлениями – индуктивным и емкостным. Получает обоснование и формула полного сопротивления:

. (4.34)

Амплитуды заряда и силы тока, сдвиг фаз между силой тока и напряжением, и полное сопротивление цепи зависят от частоты внешнего воздействия, точнее, от соотношения вынужденной и собственной частот [см. (4.30) – (4.34)].

Для исследования формулы (4.32) обратимся к преобразованному ее виду (4.33), из которого следует, что изменение амплитуды силы тока определяется изменением полного сопротивления. Поэтому сначала исследуем зависимость полного сопротивления от частоты внешнего воздействия. Активное сопротивление от частоты не зависит. Квадрат реактивного сопротивления при частоте, равной нулю, бесконечно велик за счет второго слагаемого (напомним, конденсатор – разрыв в цепи постоянного тока).

7. Как можно объяснить бесконечно большое реактивное сопротивление при частоте внешнего воздействия, равной нулю?

При увеличении частоты квадрат реактивного сопротивления уменьшается до нуля, когда . Это произойдет при частоте , т.е. при совпадении собственной и вынужденной частот. Естественно, что при этом полное сопротивление принимает наименьшее значение . При дальнейшем увеличении частоты емкостное сопротивление будет уменьшаться до нуля, а индуктивное – возрастать до бесконечности.

8. Как можно с физической точки зрения объяснит факт возрастания индуктивного сопротивления при возрастании частоты?

Теперь видно, что при бесконечно большом сопротивлении амплитуда силы тока равна нулю . Наибольшего своего значения эта амплитуда достигает при собственной частоте, когда полное сопротивление минимально: . Зависимости и представлены на рисунке 4.14.

При собственной частоте цепь имеет активный характер, угол , сила тока совпадает по фазе с напряжением. При меньших частотах , цепь имеет емкостной характер, угол (см. рис. 4.13), сила тока опережает напряжение по фазе; при бóльших частотах , цепь имеет индуктивный характер, угол , сила тока отстает по фазе от напряжения.

Итак, вынужденные колебания имеют ряд особенностей:

1. внешнее воздействие навязывает системе свою частоту и закон колебаний;

2. амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде внешнего воздействия;

3. амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, точнее, от соотношения вынужденной и собственной частот;

4. н аибольшие амплитуды вынужденных колебаний наблюдаются при частотах, близких к собственной частоте системы.

Резкое увеличение амплитуды колебаний при сближении собственной и вынужденной частот называется резонансом. В связи с этим первые две кривые на рисунке 4.14 обычно называют резонансными. Наибольшее значение на них изображены при частотах, близких к собственной. Для тока , для заряда .

На рисунке 4.15, а изображены графики напряжения и силы тока в контуре при произвольном соотношении фаз, а также мощности в зависимости от времени. Видно, что мощность бывает отрицательной, что соответствует возвращению энергии от контура к генератору. На рисунке 4.15, б изображены те же графики при резонансе.

Если при произвольном соотношении фаз силы тока и напряжения часть мощности генератора не используется потребителем, потому что реактивная энергия «перекачивается» от потребителя к источнику и обратно, при резонансе вся энергия генератора идет на «раскачку» системы, создаются наилучшие условия для отбора мощности у генератора, возрастает энергия системы и, как следствие, амплитуда колебаний. Именно в связи с отбором мощности у источника косинус угла получил название коэффициента мощности, который достигает наибольшего значения в цепи с активным характером, когда . При этом .

Настраивая радиоприемник на определенную радиостанцию, вы изменяете собственную частоту контура, приближая ее к вынуждающей частоте данной станции, т.е. настраиваетесь в резонанс с ней.

Конечно, резонанс – не только электрическое явление. С этим явлением приходится считаться при движении любых машин; вибрации, возникающие при работе двигателя, могут стать опасными, если они будут в резонансе с какими-либо из собственных частот конструкции.