Проверка адекватности регрессионной модели

По уравнению регрессии рассчитывают величину для каждой строки плана-матрицы. Находят разности между средними значениями Y_u, полученными экспериментально, и значениями , рассчитанными по уравнению регрессии. Эти разности возводят в квадрат. Полученные квадраты разностей ( )² суммируют.

Оценку дисперсии адекватности модели определяют по формуле:

, (7.20)

где l – число значимых коэффициентов регрессии, включая b₀;

Y_u – среднее арифметическое по результатам m опытов в строке плана-матрицы с номером u;

– рассчитанное по уравнению регрессии значение параметра Y для условий опыта в u-й строке плана-матрицы;

(N – l) – число степеней свободы дисперсии адекватности.

Формула (7.20) справедлива лишь при равном числе параллельных измерений во всех строках плана-матрицы.

При неравномерном дублировании опытов оценка дисперсии адекватности может быть определена по формуле:

(7.21)

где m_u – количество параллельных измерений в u – м опыте.

Если дублируется один опыт, например, в центре плана, то оценку дисперсии адекватности определяют по формуле:

_(7.22)

где m₀ – количество параллельных измерений в центре плана;

Y₀ – среднее арифметическое по результатам m₀ опытов в центре плана;

(N – l – 1) – число степеней свободы дисперсии адекватности.

Адекватность модели проверяют по критерию Фишера F, рассчитываемому по формуле:

. (7.23)

Для проверки гипотезы об адекватности модели следует определить числа степеней свободы f₁ (для дисперсии адекватности ) и f₂ (для дисперсии воспроизводимости ), найти табличное значение критерия Фишера при соответствующих степенях свободы и выбранном уровне значимости α. Если расчетное значение критерия F окажется меньше значения F_табл., т.е. , то гипотеза об адекватности модели принимается.

Примечание 1: проверка адекватности модели возможна лишь при f₁ > 0, т.е. число оцениваемых коэффициентов l должно быть меньше числа строк N в плане-матрице.

Примечание 2: решая поставленную задачу, следует выбирать одинаковый уровень значимости α при проверке гипотез по критериям Кохрена, Стьюдента и Фишера.

7.3.5 Пример планирования и обработки результатов факторного эксперимента

Получают продукт в аппарате периодического действия. Требуется: изучить зависимость выхода продукта (в % от количества загружаемого в аппарат сырья) от конечной температуры нагрева t_кон (Х₁) и скорости нагрева сырья V (Х₂).

Процесс изучили и установили следующие разумные пределы варьирования факторов:

t_кон. = 300  400C, V = 4  8 C/мин.

В таблице 7.6 указаны верхний, нижний и средний уровни факторов.

Таблица 7.6

Интервал варьирования и уровни факторов

Наименование фактора	Конечная температура, C	Скорость нагрева, C/мин
Кодированное обозначение	X1	X2
Нулевой уровень	350	6
Интервал варьирования хi	50	2
Нижний уровень хi	300	4
Верхний уровень хi	400	8

Кодирование факторов:

Х₁: ; ;

Х₂: ; .

Таблица 7.7