- •Глава 7. Организация активного эксперимента (Планирование эксперимента)
- •7.1 Общие положения
- •X1, x2, …, xk – входные переменные – контролируемые и управляемые факторы, воздействующие на объект (играют роль причин);
- •7.2 Планирование и критерии оптимальности планов эксперимента
- •7.3 Факторный эксперимент. Планы первого порядка
- •7.3.1 Планирование полного факторного эксперимента (пфэ)
- •План-матрица пфэ 22
- •План-матрица пфэ 23
- •Полная план-матрица пфэ 23
- •7.3.2 Планирование дробного факторного эксперимента (дфэ)
- •План-матрица эксперимента 23-1
- •План-матрица эксперимента 23-1
- •7.3.3 Проверка свойств планов-матриц пфэ 2k и дфэ 2k-p
- •7.3.4 Проведение и обработка результатов факторного эксперимента. Рандомизация опытов
- •Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости измерений. Определение ошибки опытов
- •Оценка коэффициентов регрессии, проверка их значимости
- •Xiu построчные значения фактора в I-том столбце плана-матрицы;
- •Проверка адекватности регрессионной модели
- •7.3.5 Пример планирования и обработки результатов факторного эксперимента
- •Интервал варьирования и уровни факторов
- •План-матрица и результаты эксперимента
- •В первом случае значения факторов переводим в кодированную форму:
- •Выполним расчеты, используя натуральные значения факторов. Обозначим выход продукта в процентах от массы исходного сырья буквой q.
- •7.3.6 Принятие решений по результатам факторного экспериментирования
- •7.4 Планы второго порядка
- •7.4.1 Принципы композиционного планирования
- •7.4.2 Центральные композиционные ортогональные планы второго порядка (цкоп) Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо преобразовать столбцы квадратичных переменных и столбец x0:
- •Показатели цкоп
- •Формулы для расчетов коэффициентов регрессии и их дисперсий после реализации цкоп:
- •Значения для цкоп
- •План-матрица пфэ и его результаты
- •План-матрица и результаты пфэ 23
- •Данные для определения условий опытов в звездных точках
- •План-матрица цкоп и результаты опытов (вторая серия опытов)
- •Вспомогательная таблица для проверки адекватности уравнения регрессии
- •7.4.3 Центральные композиционные ротатабельные планы второго порядка (цкрп)
- •Показатели цкрп
- •Данные для расчета коэффициентов регрессии и их дисперсий при цкрп.
- •Уровни варьирования факторов.
- •План-матрица и результаты первой серии опытов (пфэ 23).
- •План-матрица цкрп результаты его реализации
- •7.5 Симметричные некомпозиционные квази-д-оптимальные планы Песочинского
- •Данные для расчета коэффициентов регрессии и их дисперсий.
- •Матрица симметричного квази-д-оптимального
- •7.6 Принятие решений по планам второго порядка
- •1. Нелинейная модель объекта исследования неадекватна
- •7.7 Вопросы для самоконтроля
Проверка адекватности регрессионной модели
По уравнению регрессии рассчитывают величину для каждой строки плана-матрицы. Находят разности между средними значениями Yu, полученными экспериментально, и значениями , рассчитанными по уравнению регрессии. Эти разности возводят в квадрат. Полученные квадраты разностей ( )2 суммируют.
Оценку дисперсии адекватности модели определяют по формуле:
, (7.20)
где l – число значимых коэффициентов регрессии, включая b0;
Yu – среднее арифметическое по результатам m опытов в строке плана-матрицы с номером u;
– рассчитанное по уравнению регрессии значение параметра Y для условий опыта в u-й строке плана-матрицы;
(N – l) – число степеней свободы дисперсии адекватности.
Формула (7.20) справедлива лишь при равном числе параллельных измерений во всех строках плана-матрицы.
При неравномерном дублировании опытов оценка дисперсии адекватности может быть определена по формуле:
(7.21)
где mu – количество параллельных измерений в u – м опыте.
Если дублируется один опыт, например, в центре плана, то оценку дисперсии адекватности определяют по формуле:
(7.22)
где m0 – количество параллельных измерений в центре плана;
Y0 – среднее арифметическое по результатам m0 опытов в центре плана;
(N – l – 1) – число степеней свободы дисперсии адекватности.
Адекватность модели проверяют по критерию Фишера F, рассчитываемому по формуле:
. (7.23)
Для проверки гипотезы об адекватности модели следует определить числа степеней свободы f1 (для дисперсии адекватности ) и f2 (для дисперсии воспроизводимости ), найти табличное значение критерия Фишера при соответствующих степенях свободы и выбранном уровне значимости α. Если расчетное значение критерия F окажется меньше значения Fтабл., т.е. , то гипотеза об адекватности модели принимается.
Примечание 1: проверка адекватности модели возможна лишь при f1 > 0, т.е. число оцениваемых коэффициентов l должно быть меньше числа строк N в плане-матрице.
Примечание 2: решая поставленную задачу, следует выбирать одинаковый уровень значимости α при проверке гипотез по критериям Кохрена, Стьюдента и Фишера.
7.3.5 Пример планирования и обработки результатов факторного эксперимента
Получают продукт в аппарате периодического действия. Требуется: изучить зависимость выхода продукта (в % от количества загружаемого в аппарат сырья) от конечной температуры нагрева tкон (Х1) и скорости нагрева сырья V (Х2).
Процесс изучили и установили следующие разумные пределы варьирования факторов:
tкон. = 300 400C, V = 4 8 C/мин.
В таблице 7.6 указаны верхний, нижний и средний уровни факторов.
Таблица 7.6
Интервал варьирования и уровни факторов
Наименование фактора |
Конечная температура, C |
Скорость нагрева, C/мин |
Кодированное обозначение |
X1 |
X2 |
Нулевой уровень |
350 |
6 |
Интервал варьирования хi |
50 |
2 |
Нижний уровень хi |
300 |
4 |
Верхний уровень хi |
400 |
8 |
Кодирование факторов:
Х1: ; ;
Х2: ; .
Таблица 7.7