7.2 Планирование и критерии оптимальности планов эксперимента

Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

План эксперимента устанавливает численные значения факторов и условия проведения опытов.

Фиксированное значение фактора называется уровнем фактора. Множество точек, которые отражают численные значения факторов, можно представить следующим образом:

^*Факторное пространство в зависимости от числа варьируемых факторов может быть одномерным, двух- и многомерным.

Количество строк соответствует числу опытов n (u = 1, 2, …, n). Далее, в плане-матрице экспериментов, число строк будем обозначать буквой N.

Количество столбцов соответствует количеству факторов k, воздействующих на выходной параметр или параметр оптимизации (i = 1, 2,…, k).

План эксперимента должен быть оптимальным. Существуют различные критерии оптимальности планов эксперимента.

Критерии оптимальности планов и способы организации активного эксперимента можно разделить на три группы.

К I-й группе относят критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии.

Ортогональность позволяет оценивать все коэффициенты регрессии независимо друг от друга и упрощать или усложнять модели, исключая или добавляя новые коэффициенты без пересчета уже найденных. Ортогональность плана эксперимента обеспечивает минимальное число вычислений.

Д-оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии всех оценок коэффициентов. При составлении планов, обеспечивающих минимум обобщенной дисперсии только части оценок коэффициентов, план называется усеченным Д-оптимальным.

А-оптимальность обеспечивает минимум средней дисперсии оценок коэффициентов.

Е-оптимальность не дает возможности некоторым оценкам коэффициентов иметь слишком большие дисперсии.

Ко II-ой группе относят критерии, которые определяют точность предсказания отклика с помощью построенной модели.

Ротатабельность планов обеспечивает одинаковую точность предсказания для точек, равно удаленных от центра плана по любому направлению.

G-оптимальные планы гарантируют отсутствие в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точность оценки отклика.

Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию предсказания.

К III-ей группе относят критерии, связанные со стратегией эксперимента.

Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Минимум задается числом коэффициентов модели. Приближение к нему служит мерой насыщенности плана.

Шаговый принцип планирования или композиционность планов предусматривает реализацию эксперимента по частям, шаг за шагом. Решение о продолжении эксперимента и выбор метода на каждом последующем шаге принимают только по результатам предыдущего. Композиционные планы предполагают постепенное усложнение синтезируемой модели.

7.3 Факторный эксперимент. Планы первого порядка

7.3.1 Планирование полного факторного эксперимента (пфэ)

Полным факторным называется такой эксперимент, при котором определяется значение выходного параметра (параметра оптимизации) при всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов.

В эксперимент включают х₁, х₂, …, х_k, т.е. k – факторов, для каждого из которых следует установить q уровней.

Для осуществления ПФЭ нужно поставить q^k опытов. Наиболее распространены эксперименты, у которых факторы варьируют на двух уровнях – верхнем и нижнем, т.е. q = 2. Это эксперименты типа 2^k.

Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ включают следующие этапы:

• кодирование факторов;

• составление плана или плана-матрицы эксперимента;

• рандомизацию опытов;

• реализацию плана эксперимента;

• проверку воспроизводимости опытов;

• вычисление и проверку значимости коэффициентов уравнения регрессии;

• проверку адекватности регрессионной модели.

Поскольку факторы зачастую неоднородны и могут иметь различные единицы измерения, а числа, выражающие величины факторов, могут иметь различные порядки, их следует привести к единой системе счисления путем перехода от действительных значений факторов к кодированным по формулам:

, (7.1)

, (7.2)

, (7.3)

где i – номер фактора;

x_i – значение i-го фактора в натуральных единицах;

– кодированное значение основного уровня i-того фактора;

X_i – кодированное значение i-го фактора;

– основной уровень i-го фактора;

– верхний уровень i-го фактора;

– нижний уровень i-го фактора;

 х_i – интервал варьирования i-го фактора.

Вводят условное обозначение верхнего, нижнего и основного уровней факторов, соответственно +1, 1, 0. При построении планов-матриц эксперимента цифры (единицы) можно опускать и писать только их знаки «+» или «».

Построение плана-матрицы эксперимента сводится к стандартной форме записи условий проведения опытов в виде таблицы, в строках которой записывают данные опытов, в столбцах – факторы (в кодах «+» и «») с реализацией всех возможных сочетаний комбинаций уровней факторов.

В первом столбце таблицы следует менять знаки поочередно, во втором – чередовать их через два, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т.д., т.е. по степеням двойки. Общее количество строк в матрице плана для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов определяют по формуле N = 2^k.

Например, имеются два фактора Х₁, Х_2. Придавая каждому фактору два значения (верхний «+» и нижний «» уровни), получим четыре возможные сочетания уровней для двух факторов, т.е. для плана-матрицы 2² (табл. 7.1). В этом случае больше четырех комбинаций сделать невозможно.

Таблица 7.1