Глава 7. Организация активного эксперимента (Планирование эксперимента)

7.1 Общие положения

Из содержания предыдущих глав вытекают следующие принципиальные положения.

Встречающиеся реальные задачи экспериментирования можно разделить на задачи описания, цель которых – изучение общих закономерностей явлений и процессов, и экстремальные задачи, цель которых – нахождение оптимальных условий ведения процессов. Часто задачи описания и экстремальные решаются совместно.

Во всех случаях наилучшим результатом экспериментирования является построение некоторой математической модели. Математическая модель является средством описания исследуемого объекта в виде математических зависимостей и уравнений.

Модели можно попытаться строить на основе знаний механизмов явлений, т.е. теоретическим путем. Но механизмы большинства явлений или процессов на сегодняшний день изучены недостаточно, поэтому только из теоретических представлений построить модели для каждого конкретного случая не удается. Наиболее реалистичным путем построения математических моделей является эксперимент.

По способу организации различают пассивное и активное экспериментирование. В первом случае объекты исследования наблюдают, результаты наблюдений регистрируют и обрабатывают. По результатам многократных наблюдений оценивают свойства объекта. Более эффективным является целенаправленное изменение условий протекания исследуемых процессов и регистрация результатов, т.е. активное экспериментирование.

Активный эксперимент позволяет:

• минимизировать общее число опытов;

• одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

• организовать эксперимент так, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

• использовать математический аппарат и получать математические модели, имеющие лучшие свойства по сравнению с моделями, построенными по результатам пассивного эксперимента;

• многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины путем рандомизации условий опытов.

Методы организации активного экспериментирования называют методами планирования эксперимента. Основоположником планирования эксперимента считают английского математика Рональда Фишера. Он положил начало дисперсионному анализу, разработал факторное планирование. Современное планирование эксперимента связывают с именами Бокса и Уилсона (предложили ортогональные планы) и Бокса и Хантера (разработали принципы ротатабельного планирования). В 1957 г. в США Кифер и его ученики предложили Д-оптимальное планирование. Развитие планирования эксперимента в СССР относят к 1960 г., оно связано с именами В. В. Налимова, его учеников и последователей.

На рисунке 7.1 изображена схема объекта активного эксперимента.

Z

y₁

x₁

Объект

y₂

x₂

y_m

x_k

X1, x2, …, xk – входные переменные – контролируемые и управляемые факторы, воздействующие на объект (играют роль причин);

y₁, y₂, …, y_m – выходные переменные (отражают последствия причин);

Z – совокупность контролируемых, но неуправляемых факторов, и неконтролируемых факторов (помех).

Рис 7.1. Схема объекта активного эксперимента

Выходные переменные (y₁, y₂, …, y_m) характеризуют состояние объекта в зависимости от изменения входных переменных. Их называют переменными состояния, а также зависимыми переменными, откликами, параметрами оптимизации и др.

К объекту, на котором будет осуществляться планируемый эксперимент, предъявляется обязательное условие – все входные переменные должны быть управляемыми, т.е. их изменение должно подчиняться воле экспериментатора.

Совокупность всех численных значений, которые может принимать фактор, называется областью его определения. Следует выделять минимальные и максимальные значения факторов.

Факторы должны:

• задаваться количественно, т. е. измеряться;

• быть совместимыми;

• оказывать существенное влияние на объект.

В задачах оптимизации параметр оптимизации –характеристика цели, заданная количественно.

Параметр оптимизации должен:

• быть единственным;

• задаваться количественно;

• иметь физический смысл;

• быть эффективным, с точки зрения достижения цели;

• быть статистически эффективным, то есть обладать наименьшей дисперсией при проведении опытов.

Между входами и выходами объекта исследования существует определенная связь. Задача сводится к постановке минимально возможного числа опытов (достаточного для решения задачи с заданной точностью), фиксации выходов, а затем построению и анализу математических моделей, связывающих выходы с входами.

Получая в опытах выборочные оценки выходов y_i, экспериментатор строит приближенные уравнения функций отклика:

Эти уравнения в многомерном пространстве факторов и называют факторным пространством^*, которое имеет некоторый геометрический образ – поверхность отклика. Задача сводится к получению представления о поверхности отклика. Если задача экстремальная, нужно найти экстремум (минимум или максимум) этой поверхности или сделать вывод, что экстремума нет. Если задача описанная, необходимо выявить причины именно такого характера поверхности.

Большое распространение получили математические модели в виде алгебраических полиномов. Используют разложение неизвестной функции отклика в ряд Тейлора в окрестности любой точки из области ее определения в факторном пространстве.

По результатам экспериментов определяют выборочные оценки коэффициентов b₀, b_i, b_ij, b_ii,…полиноминальной модели.