План-матрица эксперимента 23-1

№ опыта	Х0	План			Yu
		Х1	Х2	Х3 = Х1Х2
1	+	+	+	+	Y1
2	+	–	+	–	Y2
3	+	+	–	–	Y3
4	+	–	–	+	Y4

Можно реализовать другую реплику, где принято, что . Тогда план-матрица эксперимента примет следующий вид:

Таблица 7.5

План-матрица эксперимента 23-1

№ опыта	Х0	План			Yu
		Х1	Х2	Х3= – Х1Х2
1	+	+	+	–	Y1
2	+	–	+	+	Y2
3	+	+	–	+	Y3
4	+	–	–	–	Y4

Дробный факторный эксперимент следует проводить при числе факторов от двух и более при условиях, когда полный эксперимент по экономическим или другим соображениям проводить невыгодно.

От действительных значений факторов к кодированным переходят так же, как при ПФЭ 2^k.

Поскольку при построении планов-матриц ДФЭ произведения комбинаций факторов, между которыми отсутствует эффект взаимодействия, приравнивают к новым факторам, то значения нового фактора в условиях опытов определяют по знакам, указанным в соответствующем столбце незначимого взаимодействия.

Сокращение числа опытов не проходит бесследно: появляется корреляция между некоторыми столбцами матрицы планирования. Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия. Получаются так называемые смешанные оценки (оценки коэффициентов регрессии смешаны с оценками коэффициентов парных взаимодействий):

; ,

где β_i, β_ij …  коэффициенты регрессии генеральной совокупности данных;

b_ij – их выборочные оценки.

Матрицы ПФЭ делятся не произвольно, а так, что свойства ортогональности и рототабельности планов сохраняются при ДФЭ. Для построения дробных реплик используют специальные алгебраические соотношения: генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

Генерирующие соотношения показывают, какое из взаимодействий принято незначимым, а потому заменено в матрице планирования новой независимой переменной. С генерирующим соотношением можно производить алгебраические операции, в частности, умножать обе части равенства. Если фактор встречается в квадрате или другой четной степени, его заменяют на 1.

Например, для ДФЭ 2^3-1 можно записать: Х₃ = Х₁Х₂ либо Х₃=  Х₁Х₂, где Х₁Х₂ и  Х₁Х₂ – генерирующие соотношения.

Тогда: Х₁Х₂Х₃ =  Х₁Х₂Х₃ =

Следовательно: Х₁Х₂Х₃ = 1;  Х₁Х₂Х₃ = 1.

Это и есть определяющие контрасты, т.е. соотношения, которые задают элементы первого столбца матрицы, равные 1.

Умножив определяющие контрасты на каждый фактор, находим соотношения, задающие все смешанные оценки для данной дробной реплики.

Разрешающая способность матрицы максимальная, если линейные эффекты смешаны с наибольшими эффектами взаимодействия по числу входящих в них факторов.

Так, при выборе полуреплики 2^4-1 возможно 8 решений:

Х₄ = Х₁Х₂ ,

Х₄ =  Х₁Х₂ ,

Х₄ = Х₂Х₃ ,

Х₄ =  Х₂Х₃ ,

Х₄ = Х₁Х₃ ,

Х₄ =  Х₁Х₃ ,

Х₄ = Х₁Х₂Х₃ ,

Х₄ = – Х₁Х₂Х₃.

У последних двух реплик наибольшая разрешающая способность. Они называются главными.

Расчет коэффициентов регрессии и исследование уравнения регрессии при использовании ДФЭ те же, что при ПФЭ. Но можно рассчитывать только те коэффициенты при взаимодействиях факторов, которые определяются столбцами взаимодействий, не совпадающими со столбцами отдельных факторов. Несоблюдение этого правила ведет к нарушению свойств ортогональности плана.