7.3.3 Проверка свойств планов-матриц пфэ 2k и дфэ 2k-p

После построения плана-матрицы ПФЭ 2^k либо ДФЭ 2^k-p необходимо проверить следующие её свойства.

• Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора, кроме столбца, отвечающего свободному члену b₀, должна быть равна нулю, т.е.

. (7.4)

Далее вместо будем писать

• Нормировка.

Сумма квадратов элементов каждого столбца должна быть равна числу строчек плана-матрицы, т.е.

. (7.5)

• Ортогональность.

Сумма построчных произведений любых двух столбцов плана-матрицы должна быть равна нулю, т.е.

, (7.6)

где X_iu X_ju – комбинация факторов в u-й строке, i ≠ j.

Если план-матрица отвечает вышеперечисленным свойствам, то она обладает также свойством ротатабельности.

7.3.4 Проведение и обработка результатов факторного эксперимента. Рандомизация опытов

Перед реализацией плана эксперимента на объекте опыты, предусмотренные в матрице планирования, следует рандомизировать, т.е. установить порядок их проведения в случайной последовательности. Порядок проведения опытов в случайной последовательности следует выбирать по таблице равномерно распределенных случайных чисел или другим способом. Например, требуется провести 8 опытов. Номера строчек в плане матрицы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. А установленный случайный порядок реализации опытов может быть, например: 1, 6, 5, 8, 2, 7, 4, 3. Случайный порядок реализации опытов может содержать и кратное восьми число 8m при выполнении m параллельных измерений в каждой строке плана. При этом объем выборки m в каждой строке плана эксперимента, по возможности, должен быть одинаковым.

Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости измерений. Определение ошибки опытов

По результатам реализации параллельных измерений определяют средние значения показателя отклика (далее – параметра оптимизации) по формуле

, (7.7)

где Y_u – среднее арифметическое из m параллельных измерений в строке с номером u;

Y_uj – j-е значение параметра Y при измерениях в строке плана с номером u.

Вычисляют построчные дисперсии по данным m параллельных измерений в каждой строке плана-матрицы по формуле:

(7.8)

Находят максимальную дисперсию среди построчных дисперсий, а все построчные дисперсии суммируют, т.е. определяют

Для проверки гипотезы однородности дисперсий и воспроизводимости измерений при одинаковом числе m измерений в каждой строке плана следует пользоваться критерием Кохрена G, который вычисляют как отношение максимальной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий:

(7.9)

Задав уровень значимости (например, α = 5%), находят табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы f₁ = m – 1 и f₂ = N. Если расчетное значение G окажется меньше найденного в таблице, то гипотеза об однородности дисперсий и воспроизводимости результатов измерений принимается. Если проверка дала отрицательный результат, то следует увеличить число параллельных опытов и, по возможности, повысить точность измерений при их выполнении.

Иногда не удается обеспечить равное число параллельных измерений в каждом опыте (т.е. в каждой строке) плана-матрицы.

При разном числе параллельных измерений может быть использован критерий Фишера. Для этого определяют отношение максимальной построчной дисперсии к минимальной:

. (7.10)

Гипотеза об однородности дисперсий принимается при выполнении условия

, (7.11)

где F_табл. определено при уровне значимости α и

,

где  числа параллельных измерений в строках плана-матрицы, которым соответствуют и .

Если построчные дисперсии однородны, т.е. измерения воспроизводимы, то их можно усреднить и найти ошибку опытов и равную ей дисперсию воспроизводимости по формуле:

= = (7.12)

В случаях, когда известно, что эксперимент воспроизводим, допускается выполнение m₀ параллельных измерений не во всех строках плана-матрицы, а только в одной из них, чаще всего в центре плана. В таком случае дисперсия опытов может быть рассчитана по формуле:

= (7.13)

где Y₀ – среднее арифметическое из результатов m₀ опытов в центре плана;

– значение параметра Y с порядковым номером g.