- •Глава 7. Организация активного эксперимента (Планирование эксперимента)
- •7.1 Общие положения
- •X1, x2, …, xk – входные переменные – контролируемые и управляемые факторы, воздействующие на объект (играют роль причин);
- •7.2 Планирование и критерии оптимальности планов эксперимента
- •7.3 Факторный эксперимент. Планы первого порядка
- •7.3.1 Планирование полного факторного эксперимента (пфэ)
- •План-матрица пфэ 22
- •План-матрица пфэ 23
- •Полная план-матрица пфэ 23
- •7.3.2 Планирование дробного факторного эксперимента (дфэ)
- •План-матрица эксперимента 23-1
- •План-матрица эксперимента 23-1
- •7.3.3 Проверка свойств планов-матриц пфэ 2k и дфэ 2k-p
- •7.3.4 Проведение и обработка результатов факторного эксперимента. Рандомизация опытов
- •Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости измерений. Определение ошибки опытов
- •Оценка коэффициентов регрессии, проверка их значимости
- •Xiu построчные значения фактора в I-том столбце плана-матрицы;
- •Проверка адекватности регрессионной модели
- •7.3.5 Пример планирования и обработки результатов факторного эксперимента
- •Интервал варьирования и уровни факторов
- •План-матрица и результаты эксперимента
- •В первом случае значения факторов переводим в кодированную форму:
- •Выполним расчеты, используя натуральные значения факторов. Обозначим выход продукта в процентах от массы исходного сырья буквой q.
- •7.3.6 Принятие решений по результатам факторного экспериментирования
- •7.4 Планы второго порядка
- •7.4.1 Принципы композиционного планирования
- •7.4.2 Центральные композиционные ортогональные планы второго порядка (цкоп) Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо преобразовать столбцы квадратичных переменных и столбец x0:
- •Показатели цкоп
- •Формулы для расчетов коэффициентов регрессии и их дисперсий после реализации цкоп:
- •Значения для цкоп
- •План-матрица пфэ и его результаты
- •План-матрица и результаты пфэ 23
- •Данные для определения условий опытов в звездных точках
- •План-матрица цкоп и результаты опытов (вторая серия опытов)
- •Вспомогательная таблица для проверки адекватности уравнения регрессии
- •7.4.3 Центральные композиционные ротатабельные планы второго порядка (цкрп)
- •Показатели цкрп
- •Данные для расчета коэффициентов регрессии и их дисперсий при цкрп.
- •Уровни варьирования факторов.
- •План-матрица и результаты первой серии опытов (пфэ 23).
- •План-матрица цкрп результаты его реализации
- •7.5 Симметричные некомпозиционные квази-д-оптимальные планы Песочинского
- •Данные для расчета коэффициентов регрессии и их дисперсий.
- •Матрица симметричного квази-д-оптимального
- •7.6 Принятие решений по планам второго порядка
- •1. Нелинейная модель объекта исследования неадекватна
- •7.7 Вопросы для самоконтроля
Полная план-матрица пфэ 23
Номер строки Строки № плана |
Значения факторов
|
Комбинации произведений факторов |
Значения выходной переменной (параметра оптимизации) |
||||||||
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1 Х2 |
Х1 Х3 |
Х2 Х3 |
Х1 Х2 Х3 |
Y1u |
Y2u |
Yu |
|
1 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
– |
Y11 |
Y21 |
Y1 |
2 |
+ |
+ |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
Y12 |
Y22 |
Y2 |
3 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
– |
+ |
Y13 |
Y23 |
Y3 |
4 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
– |
– |
– |
Y14 |
Y24 |
Y4 |
5 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
Y15 |
Y25 |
Y5 |
6 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
– |
– |
Y16 |
Y26 |
Y6 |
7 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
– |
Y17 |
Y27 |
Y7 |
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Y18 |
Y28 |
Y8 |
В таблице 7.3 в рамке представлен собственно план эксперимента ПФЭ 23. Остальные данные необходимы для подсчета коэффициентов уравнения регрессии. Пользуясь такой матрицей планирования, можно приступать к эксперименту. При экспериментировании значениям «+» и «» соответствуют верхний и нижний уровни факторов в их натуральных значениях. Если в каждой строке плана осуществляется m параллельных опытов (m ≥ 2), то в матрице фиксируются средние значения их результатов Yu, которые и учитываются при вычислении значений коэффициентов уравнения регрессии.
Планы ПФЭ являются симметричными, нормированными, ортогональными и ротатабельными.
7.3.2 Планирование дробного факторного эксперимента (дфэ)
Для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии иногда можно провести небольшое количество опытов, вводя понятия ДФЭ. Если при анализе уравнения регрессии установлено, что какой-либо коэффициент незначим, то переменной или переменными при нем можно пренебречь, при этом в матрице планирования остается свободный столбец. В него включают новый фактор. Чаще всего незначимыми являются коэффициенты при взаимодействиях факторов, т.е. сами взаимодействия факторов. Их и заменяют новыми факторами.
Дробные факторные эксперименты условно следует обозначать 2k-p, где р – число факторов, приравненных к незначимым эффектам взаимодействия. При р = 1 получают 1/2 ПФЭ, при р = 2 получают 1/4 ПФЭ, при р = 3 получают 1/8 ПФЭ и т.д. по степени двойки. Принято говорить, что получают дробные реплики от ПФЭ, т.е. соответственно, полуреплику, четверть-реплику и т.д.
Если в ПФЭ (табл. 7.3) один из эффектов взаимодействия (Х1Х2 , Х1Х3 , Х2Х3 или Х1Х2Х3) заменить четвертым фактором Х4 , то получим ДФЭ 24-1, т.е. половину от ПФЭ 24. Если два эффекта взаимодействия заменить факторами Х4 и Х5, то получим ДФЭ 25-2, т.е. 1/4 от ПФЭ 25.
Можно получить 1/8 от ПФЭ 26, заменив три эффекта взаимодействия факторами Х4 Х5 Х6 , т.е. ДФЭ 26-3. Если заменить четыре эффекта взаимодействия факторами Х4 Х5 Х6 и Х7, то получим ДФЭ 27-4, т.е. 1/16 от ПФЭ 27.
Таблица 7.4