Глава 9. Организация эксперимента при решении задач оптимизации

9.1 Формализация задач оптимизации технических систем (процессов)

Практически все задачи оптимального управления сложными техническими системами связаны с необходимостью поиска оптимальных условий их функционирования. В тех случаях, когда применяются современные методы и средства вычислительной техники для решения задач оптимизации необходима их формализация, т.е. формулировка задачи стандартным образом и её решение на основе чёткого однозначного алгоритма. Причём однозначность в данном случае не означает, что отсутствуют варианты решения. Наоборот, проводится сравнение многих возможных вариантов, но алгоритм точно определяет, на каком этапе и как производится такое сравнение.

Специалисты-нематематики не всегда соглашаются с целесообразностью формального подхода, так как они опираются на содержательный, т.е. физический смысл задач. Поэтому чрезвычайно важно в процессе формализации задачи и её решения формальными методами сохранить неприкосновенным содержательный смысл задачи. Вместе с тем, необходимо понимать, что формализация позволяет единообразно решать задачи для различных систем, а также задачи с использованием современных ЭВМ, что обеспечивает возможность анализа большого числа вариантов и выбора из них наилучшего.

При формализации задачи оптимизации разделяются на три этапа:

• формулировка задачи;

• нахождение оптимальных условий функционирования системы на основе алгоритма;

• реализация оптимальных условий на практике.

9.1.1 Формулировка задачи оптимизации

Формулировка задачи оптимизации включает:

• выбор критерия оптимальности;

• установление ограничений;

• выбор оптимизирующих факторов;

• запись целевой функции.

Критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует данная система, т.е. насколько хорошо решена задача оптимизации.

Критерий оптимальности является одним из выходов системы. Требования к критерию оптимальности:

• он должен быть единственным (это самое трудное требование)*;

• должен выражаться числом;

• его величина должна изменяться монотонно при улучшении качества функционирования системы.

Последнее значит, что оценивать объект можно по принципу: «чем больше критерий, тем лучше» либо «чем меньше критерий, тем лучше», но ни в коем случае не по принципу «вот это значение критерия оптимально, а отклоняться от него не следует».

Ограничения – это условия, которые необходимо соблюдать при работе технической системы независимо от того, как их соблюдение повлияет на величину критерия оптимальности. Чаще всего ограничения возникают по следующим причинам:

• по количеству и качеству сырья и продукции (например, состав сырья часто менять нельзя; выпуск продукции не должен быть больше того, что можно реализовать; качество продукции должно быть не хуже требований стандартов или потребителей и т.п.);

*Разрабатываются также методы многокритериальной оптимизации.

• по условиям технологии (например, размеры аппаратов часто менять невозможно; температура не может быть выше предела, при котором портится материал аппарата или элементы технологической среды);

• по экономическим и конъюнктурным условиям (например, капитальные затраты не должны превышать предусмотренных бюджетом и т.п.);

• по соображениям охраны труда и окружающей среды и т.д.

Выделяют ограничения типа равенств и типа неравенств.

Ограничения типа равенств устанавливают определенное значение факторов: Х_i = a_i, где Х_i – один из контролируемых нерегулируемых входов (например, состав сырья, размер аппаратов, нагрузка на аппарат и т. д.).

Ограничения типа неравенств определяют пределы, в которых допустимы изменения параметров и процессов: U_i > a_i; U_k < b_k; a_e < U_e < b_e (например, производительность не ниже заданной, температура не ниже или не выше заданной и др.).

Различают ограничения 1-го рода и 2-го рода. В ограничениях 1-го рода в качестве параметров X и U фигурируют входные параметры. В ограничениях 2-го рода – это различные функции входов (например, выходные параметры и др.).

Оптимизирующие факторы – это те из входов системы, которые в процессе оптимизации относят к управляющим, т.е. это те воздействия, которые применяют для оптимизации системы.

На стадии проектирования, когда осуществляется так называемое оптимальное проектирование, к числу оптимизирующих целесообразно отнести как можно большее число факторов.

После запуска производства осуществляется оптимальное управление. При этом число оптимизирующих воздействий значительно меньше. Чем больше управляющих факторов, тем сложнее математическая модель системы управления и сама система управления.

Целевая функция – это то же, что критерий оптимальности, но этот критерий рассматривается как функция входных факторов:

F (X₁ X₂ X_{3 …}X_m ; U₁ U₂ U₃…U_r ).

Чем больше (или меньше) F, тем лучше. Поэтому оптимум – это экстремум (максимум или минимум) целевой функции. Те значения факторов, при которых достигается оптимум, называются оптимальными значениями.

Таким образом, математически задача оптимизации формулируется как задача поиска экстремума, т.е. тех значений факторов, при которых целевая функция имеет экстремум. При этом в точке экстремума должны соблюдаться все ограничения, поэтому во многих случаях оптимум приходится искать на краю области допустимых значений факторов, за пределы которых нельзя выйти вследствие наличия ограничений.