9.5 Итерационные методы направленного поиска

Методы направленного поиска могут реализовываться как численные, при условии вычисляемости целевой функции и известном алгоритме для расчёта значений критерия оптимальности при заданных значениях факторов. В них происходит движение в факторном пространстве в сторону искомого экстремума целевой функции. Движение может осуществляться также путём постановки эксперимента (т.е. эмпирическим путём).

Направленный поиск дает надежный результат, если функция унимодальна, т. е. в допустимой области значений факторов она имеет только один экстремум нужного знака (один максимум или один минимум).

Если F(х) имеет несколько экстремумов, то методы направленного поиска не позволяют установить, в какой экстремум попали – в глобальный (экстремальный для всей области) или локальный, так как другие точки могут оказаться выше (для максимума) или ниже (для минимума).

Рассмотрим два распространённых итерационных метода одномерного поиска: метод дихотомии и метод золотого сечения. Известны и другие итерационные методы одномерного поиска.

Наименьший интервал неопределенности, которого можно достичь при поиске оптимума целевой функции Y = F(х), составляет 2, где  – наименьший сдвиг, при котором можно обнаружить различие между результатами двух соседних опытов. В рассматриваемых далее примерах – погрешность решения.

9.5.1 Метод дихотомии

В методе дихотомии на каждом шаге производят два опыта в середине интервала неопределенности на расстоянии  друг от друга (рис. 9.3).

Рис. 9.3 График поиска максимума методом дихотомии

Сравнивают их результаты и устанавливают, в какой части интервала неопределённости (слева или справа от середины) продолжать поиск оптимума.

На каждом последующем шаге процедуру повторяют, и так до тех пор, пока интервал неопределённости составит менее 2.

Рассмотрим пример, в котором реализован численный поиск экстремума целевой функции.

Необходимо методом дихотомии определить минимальное значение функции на отрезке [0; 1]. Точку x^* (искомое решение) следует найти c абсолютной погрешностью  = 0,05.

Приблизительно можно принять, что

,

где a_n, b_n – соответственно, левая и правая границы интервала неопределенности после проведения n шагов.

Тогда погрешность определения x не будет превышать .

1-й шаг. [0; 1]

;

.

2-й шаг. Из условия унимодальности f(x) принимаем [0; 0,525]. Интервал неопределенности больше 2 = 0,1. Продолжаем поиск:

;

.

3-й шаг. . Интервал неопределенности больше 2. Продолжаем поиск:

;

.

4-й шаг. . Интервал неопределенности больше 2. Продолжаем поиск:

;

.

5-й шаг. . Интервал неопределенности равен , т.е. меньше 2. Поэтому:

.

Все вычисления в компактной форме можно представить в виде таблицы 9.1, где нечетные x_i обозначены буквой c, а четные – буквой d.

Таблица 9.1

Результаты вычислений по методу дихотомии

а	b	c	d	f(с)	f(d)	h
0	1	0,525	0,475	–1,139093	–1,156701
0	0,525	0,2875	0,2375	–1,167444	–1,155261	0,2625
0,2375	0,475	0,38125	0,33125	–1,173393	–1,173248	0,11875
0,33125	0,475	0,428125	0,378125	–1,167762	–1,173570	0,071875
0,33125	0,38125					0,05